厚壁筒柱面受双曲余弦分布压力、端面受常力之解及圆筒无限长时的极限

　　厚壁圆筒问题,实际上是一个三维空间的问题,在实际中有很多的用途[1～3]。但以往的文献将其简化为只在柱面上受均布压力,且将其化为二维空间的问题去求解[4]。在此,针对实际问题的需要,在三维空间中构建了一个既满足双调和方程又满足边界条件的新应力函数,推导出厚壁圆筒在柱面上受双曲余弦分布压力、端面上受常力时的解析解。而解析解,尤其是工程实际问题的解析解,是有理论意义的。此外,它还可以作为标准解,促进广泛应用的各种数值解的产生。

　　1　边界条件

　　考虑圆筒柱面上受双曲余弦分布压力、端面上受压力总和为P的情况,见图1。采用柱坐标,边界条件可表示如下:

　　当r=a时,正应力和剪应力分别为

　　式中,q为r=a时的常压力。

　　式(3)不必严格满足,按Saint - Venant原理,只要应力总和不变,端部条件可放松。由于是轴对称问题,切应力在端面上的积分是自然满足的。

　　2　新应力函数

　　空间轴对称问题的应力函数满足双调和方程[1,2]

　　式(15)为式(6)的解,由比值判别法及幂级数的性质可判断fi(r)(i= 1,2,3,4)收敛。又由线性代数知识可知f1(r)、f2(r)、f3(r)、f4(r)线性无关,从而式(6)的通解为

　　3　满足边界条件的解析解

　　将式(17)代入应力分量公式[2]

　　满足平衡微分方程和相容方程[2]

　　4　的极限

　　当k→0时,由式(12)～式(15)得

　　当圆筒无限长时,可认为两端面受力为零。因此当k→0时,由式(34)可得

　　从而当k→0即l→∞,圆筒无限长,此时压力可看作沿轴向不变化,由式(36)有

　　此为著名的Lame公式。

　　参考文献:

　　[1]　钱伟长,叶开源.弹性力学.北京:科学出版社,1983

　　[2]　徐芝纶.弹性力学.北京:人民教育出版社, 1982

　　[3]　刘助柏.塑性成形新技术及其力学原理.北京:机械工业出版社,1995

　　[4]　张行.高等弹性理论.北京:北京航空航天大学出版社,1994

　　作者简介:单　锐,女,1961年生。燕山大学(河北省秦皇岛市　066004)理学院副教授,机械工程学院博士研究生。研究方向为轴对称问题的解析解及计算机仿真技术。发表论文20余篇。刘助柏,男,1936年生。燕山大学机械工程学院教授、博士研究生导师。刘　文,男,1961年生。燕山大学理学院副教授。