同向力在悬臂梁上的最优分布

　　0引 言

　　在梁的强度计算和设计中，我们经常会遇到如何对梁的载荷进行合理的分布，使它们对梁产生的弯矩(或力矩)最小 (或最大)，从而达到工程实际的要求。为更好说明上述问题，下面举两个生产实践中的例子。

　　例1如图1所示等直悬臂梁，A端固定，B, C, D上放有三个重物，每个重物的重量不相等，问三个重物应如何排列，才能使梁最安全?

　　在土程实践中，通常是将最重的物体放在B点，将最轻的物体放在D点，另一个物体放在C点。这样梁最安全，因三重物的重力对A点产生的弯矩最小。故对例1，实际上是求当三个同方向力作用在悬臂梁上时，哪种排列方案对梁产生的最大弯矩最小。

　　例2如图2所示，电厂检修汽轮机时一，有甲、乙、丙三个土人用加套筒的扳手拧螺栓，问这三个人应如何排位，才能使他们拧螺栓的效果最好?

　　在实际操作中，有经验的师傅都知道，当三个人一起操作时一，力气最大的应排在C点用力，力气最小的应排在A点，而另一位应排在B点。这样三个拧螺栓最省力，因他们对0点产生的合力矩最大。故对例2，实际上是求当三个同方向的力作用在套筒上时一，哪种排列方案对螺栓产生的合力矩最大。

　　现在的问题是:如果放在悬臂梁上的重物超过三个或拧螺栓的土人超过三人，是否也可以采用类似的做法呢?答案是肯定的。下面我们从理论上对此问题进行论证。

　　1.问题的提出与解决

　　针对以上两个例子，我们提出以下问题，即:如图3，有n个同方向的集中力F₁, F₂,…、Fn，今需施加到悬臂梁OB的A₁,A₂,…、A_n点上，一个点只能施加一个力，问这n个力应如何分布，才能使它们对0点产生的弯矩最大或最小。

　　结论:若，当F_i作用在A_i点 (i=1,2......，n)时，0点的弯矩最大。反之，当F₁作用在A_n-i+1(i = 1, 2, ....., n)点时，0点的弯矩最小。

　　设A₁, A₂,…、An到0点的距离分别为a₁、a₂......a_n。

　　记F₁、 F₂,…、Fn任意打乱顺序的排列为F_r1,F_r2, F_rn。其中Frn作用在A_i点上，共有n!种不同的作用方式。于是上述结论就变成不等式:

　　下面证明这个不等式。

　　设β₁=a1，β₂=a₂-a₁，......β_n=a_n-a_n-1，即以β_i表示A_i与A_i-1间的距离。于是有:

　　显然，由于，故在F₁、 F₂,…、F_n这n个数中，若任选n-i+1个数求和，则F_i, F_i+1、…、F_n之和最大，F₁、F₂,…、F_i之和最小。其它任选n-i+1个数之和介于上面的最大值与最小值之间，即: