变截面压杆稳定性分析的矩阵传递法

　　0 前 言

　　现有的压杆稳定性分析方法是通过建立挠曲线微分方程来求解压杆临界力的。其中,变量只涉及变形。对于不同的杆端约束条件,相应的微分方程是不同的。对于阶梯杆,由于各段杆的刚度不同,对各段必须分别建立相应的挠曲线近似微分方程,并将各段杆连接处都作为边界逐段推导,求得通解;然后才能得到最终结果。段数越多,求解越繁琐。

　　在本文中,压杆的挠度、转角、弯矩和剪力被表示为一个量,称之为状态向量。本文建立了状态向量的微分方程,并求出了等直压杆上、下端状态向量关系的普遍方程,结果简明,适用于各种不同杆端约束条件。对于阶梯杆,可以通过各单元传递矩阵的相乘,获得阶梯杆上、下端状态向量的关系,只须代入上、下端约束条件,即可方便地求得压杆临界力;如果在杆中间存在弹性支承,只须代入相应的弹性支承传递矩阵,即可求解。基于本文的方法,可以编制相应的计算机程序来求解各种不同压杆的临界力,给工程人员计算复杂变截面压杆临界力带来方便。

　　1 压杆状态向量普遍方程

　　图1所示为一均质等直杆,受到轴向压力P,处于临界状态。令y_u、θ_u、M_u、Q_u分别表示杆上端的挠度、转角、弯矩及剪力。坐标系oxy的原点取在杆的上端。任一横截面x处的挠度y、转角θ、弯矩M及剪力Q的正方向如图1所示,它们满足以下方程:

　　其中EI表示杆的抗弯刚度。方程组(2)可以改写成以下矩阵形式:

　　引入符号:

　　S称为状态向量,和

　　方程(3)可以改写成如下的状态向量的微分方程

　　解此微分方程,可以得到

　　其中S^u表示杆上端的状态向量。将x=L代入式(6),要以得到杆下端状态向量S^b与杆上端状态向量S^u的关系式

　　引入符号T=e^AL,方程(7)可以改写成如下形式

　　或

　　方程(9)中的各元素可以通过e^AL展开成泰勒级数得到:[1]~[4]

　　其中I是单元矩阵。对于任意的A矩阵,上述级数都是收敛的。通过表达式(10)可以推出t_ij的结果。令

　　可以得到

　　由此可以求得t_ij的值,将求得的t_ij值代入方程(9),得到

　　方程(11)表示了均质等直压杆的上、下端状态向量的关系。它普遍适用于各种杆端约束条件。只要代入杆的两端的边界条件,就可以很容易地求出压杆的临界力。