简支圆板在爆炸冲击荷载作用下的动力响应

　　在第二次世界大战以来,研究结构在强动荷载作用下的非线性动力响应,评价结构对冲击、爆炸的承载能力已经成为现代工程领域十分关注的课题。从50年代以来,圆板的塑性动力响应问题得到了广泛而深入的研究。1954年,Hopkins和Prager研究了简支圆板受矩形脉冲载荷作用的塑性动力响应分析[1]; 1955年,王仁研究了简支刚塑性圆板在冲击荷载作用下的塑性动力响应问题[2]; 1963年苏联学者研究的简支圆板在阻尼介质中塑性动力响应问题[3]; 1987年,印度的A.Kumar研究了圆板在阻尼介质中的动力响应[4]; 1999年MaGW等[5]用俞茂宏提出的统一屈服准则[6],求解了中等脉冲荷载作用下的简支圆板的塑性动力响应; 2003年王延斌等人分别用双剪应力强度理论和统一强度理论求解简支圆板在脉冲荷载作用下的塑性动力响应[7, 8]。还有很多学者针对不同的边界条件和荷载条件对圆板的塑性动力响应做了大量的工作[9213]。本文采用双应力强度理论对简支圆板在爆炸冲击波荷载作下的塑性动力响应进行了分析。

　　1985年俞茂宏在双剪应力屈服准则的基础上,考虑SD效应,应用菱形十二面体力学模型,提出了双剪应力强度理论。它的数学表达式为[6]:

　　式中α为材料拉伸极限强度σt与压缩极限强度σc之比,简称拉压比,α=σt/σc。

　　1　基本方程

　　简支圆板受爆炸冲击荷载作用的情况如图1所示。设圆板的半径为a,板厚为h,单位面积质量为羥,挠度响应为W,径向弯矩为Mr,环向弯矩为Mφ,横向剪力Qγz和塑性极限弯矩M0,根据塑性屈服条件求得M0=(σth2) /(2(1+α))。作用于板上的动荷载为P(t)。

　　采用无量纲参数r=R /α,mr=Mr/M0,mφ=Mφ/M0,p(t)=P(t) /P, u=羥a3/M0,w=W/a, q=Qγz/M0。根据惯性力法,可导出板的运动方程为[7]:

　　几何方程为:

　　采用由广义应力mr和mφ表示的双剪应力强度理论,屈服线图形如图2所示。

　　在塑性界限状态时,板中心(r=0)弯矩满足mr=mφ=1(图2中的A点),简支边界(r=1)满足mr=0(图2中的C点),所以圆板上所有点的弯曲弯矩均位于AB和BC段上。这两段的屈服条件可表示为:

　　式中i=1表示AB边, i=2表示BC边, ai、bi是常数,分别为a1=-1,b1=2;a2=a /2,b2=1。相关流动法则为:

　　上式中的F为屈服函数,得:

　　由式(3), (5)可以得到弯矩控制方程:

　　由式(4), (7)得到速度控制方程:

　　其中p(t)为爆炸冲击波荷载如图3所示[14]。这种荷载的特点是压力强度随时间而变化,几乎没有恒载区,而且压力峰值pmax很快达到,然后又迅速减压。在p(t)小于静态界限压力p0时,板将处于刚性状态。荷载的峰值与板的运动模式密切相关,当pmaxpb时圆板中心部分处于塑性格式A,其外环部分处于AB和BC段。pb为待确定值,可以证明pb=2p0。在本文中只考虑pmax