三铰拱弯矩影响线的图解法

　　0　引言

　　影响线是结构力学中的重要内容,在求解结构受移动荷载(如桥梁要承受的列车、汽车等荷载,厂房中的吊车梁要承受的吊车荷载)作用下指定量值时有广泛应用,是确定最不利荷载位置的有效方法。所谓影响线是:当一个指向不变的单位集中荷载(通常是竖直向下)沿结构移动时,表示某一指定量值变化规律的图形。利用影响线解题时,为了简化通常将移动荷载简化为单位“1”的无量纲值,绘制影响线的基本方法有两种:静力方程法(简称静力法)和机动法。在当前的结构力学教材中很少涉及三铰拱的影响线求解,但拱结构在桥梁工程专业有广泛应用,要绘制拱结构的弯矩包络图,必须先确定最不利荷载位置,由于三铰拱的轴线为曲线,因此用静力法或机动法很难准确而快捷地求解三铰拱的弯矩影响线。笔者介绍一种图解法,旨在方便快捷地求解此类问题,文中证明了该方法。

　　1　三铰拱弯矩影响线的图解法

　　1.1　问题

　　已知如图1三铰拱ABC,求作图内D截面的弯矩影响线。

　　1.2　图解法

　　第一步:如图2(a)所示,过A和C作一直线,与过B作的铅垂线相交于E;同样,过B和C作一直线,与过B作的铅垂线相交于F;过D作一铅垂线交AE于H,交BF于G。AF=a,BF=b,HD=v,DG=v′,根据拱轴线方程及几何关系可以方便地求得v和v′。

　　第二步:作三铰拱ABC内D截面的弯矩影响线。如图2(b)所示,作出基线AB,并分别对应地作出D、C两点,过C、D分别作CR、SD(如图所示)垂直于AB,使SD=v′n/a,CR=-vm/b;顺次连接AS、SR、RB,折线ASRB为所求D截面的弯矩影响线。SR于基线AB交于T,T点为中和点,当单位荷载移动至T点对应位置时,D点弯矩Md=0。

　　1.3　图解法证明

　　1.3.1　证明BC段影响线

　　(1)求A点支座反力

　　为了便于分析,我们将A点支座反力不按传统的水平方向与垂直方向进行正交分解,而是将A点反力进行非正交分解,即:沿AC连线方向分力为R1,沿AB连线方向(水平方向)分力为R2,在后面的分析中将充分体现这样分解的优点。

　　(2)求反力R1

　　单位无量纲值在CB之间移动,以X表示其距B支座的水平距离,X为0到m之间的任意值。令AE与水平线AB之间的夹角为H,tanH=f/(L-m)。

　　根据平衡方程2MB=0,有:

　　(3)求反力R2

　　当单位荷载置于CB段内时,AC段内无荷载,此时AC为二力杆,由此可得:R2=0

　　(4)计算MD

　　其中:X∈[0,m],所以MD在0至vm/b之间线性变化,负号表示AC杆D点上边缘受拉。据此BC段得以证明。

　　1.3.2　证明AD段影响线

　　将单位荷载置于AD段内,以支座B为研究对象,支座反力以同样的方式进行非正交分解,沿BC方向为R3,AB方向为R4。