任意多边形截面直杆扭转问题的加权残值解

　　关于等截面弹性直杆扭转问题的研究,当首推法国数学家圣维南的凑合法。后来普朗都根据圣维南的理论,提出了扭转应力函数U(x,y),将问题归纳为一个狄里赫莱问题。然而要精确求解各种边界的狄里赫莱问题并非易事。文献[1～3]分别应用无穷级数叠加法求解了单连通域的矩形截面,梯形截面和等腰三角形截面的扭转问题。文献[4,5]又先后用域内加权残值法求解了矩形域,三角形域和梯形域的扭转问题,虽然方法简单,但试函数的选取受到边界形状的限制。对于更复杂的截面形状的单连通域或多连通域问题,由于求解的困难,通常不得不采用薄膜比拟法、沙堆比拟法或电涡流比拟法[6]。本文从满足扭转问题的控制微分方程出发,应用一组调和函数作为基函数构造了扭转问题的一般解,应用加权残值法解出满足边界条件的系数。在求解过程中考虑了解的广泛适应性。作者编制了计算机程序,可以很方便地计算各种多边形截面的单连通和复连通域的扭转问题,并计算了多个实例,效果不错。

　　1　圣维南问题的数学提法

　　根据圣维南的假定,一等截面直杆,在两自由端作用一对扭矩M时,除了横截面上的剪应力Sxz,Syz外,其余应力分量均为零,即

　　其中x、y轴在垂直于z轴的横截面内,而z轴沿着直杆的轴线方向。

　　式中:φ(x,y)为普郎都扭转应力函数,将式(1)、(2)代入弹性力学相容方程[3],得到

　　式中:为拉普拉斯算子;G为材料的剪切弹性模量;θ为单位杆长的扭转角。同时在截面边界上有

　　式中:Ci为任意常数;k为为连通数,在k个常数中可以任意确定其中之一,但其余的k-1个常数则需由边界条件解出。一般对单连通域k=0,可取C0=0,对于多连通域,可取某一边界上的C值为0,其余各边界上的C值则为待定常数(如图1所示)。另外,从静力平衡条件有

　　式中:Ai为第i个边界所围成的面积。

　　2　任意形状截面扭转问题的一般解

　　2.1　一般解

　　为满足控制方程(3),设

的一个基函数,所有的φm当m→∞时应构成一个完备的函数系。Am为待定系数,φm可有多种选择,本文选取下列函数作为基函数

　　其中为适当选取的一个常量,一般可取截面的最大线性尺度。实算表明:由于函数chAmx、chAmy含有指数函数eAmx及e-Amx等,应适当选取A值,以免引起数值溢出。

　　2.2　位移翘曲函数

　　根据调和函数的性质,调和函数

　　必然存在一与之共轭的调和函数7(x,y),两者之间满足柯西—黎曼条件

　　式(9)中第一式对y求导,第二式对x求导后两式相减,得