等截面平面曲杆的单元刚度矩阵通用式

　　0　引言

　　现代结构工程中,已采用大量不同形式的曲线形结构。弧形房架,拱形过梁等等都可以简化为平面曲杆。在矩阵位移法中,对于等截面平面曲杆单元的分析,主张以直代曲,即用多段折线形杆件来代替曲杆。无疑这样处理会使单元刚度矩阵的精度下降。其次,对于由直杆和曲杆组成的复杂结构来说,折线部分的单元和直杆单元相比,必然在宏观尺寸上相差太多,这也是影响精度的一个因素。为此笔者从另一角度进行分析,即直接把平面曲杆作为单元,建立单元刚度矩阵通用式,再根据杆件的轴线方程得出相应单元的刚度矩阵精确式,恢复以直代曲单元分析所损失的精度。

　　1　等截面平面曲杆的单元刚度矩阵通用式

　　图(1-a)所示为等截面平面曲杆两端位移情况。取坐标系oxy,平面曲杆的弹性特性和几何物性对称y轴。杆端转角以绕杆端顺时针为正,反之为负;杆端线位移与坐标轴同向为正,反之为负。图(1-b)为由于杆端位移而引起的杆端力。杆端弯矩Mi,Mj以绕杆端顺时针为正,反之为负;杆端力Xi,Yi,Xj,Yj与坐标轴同向为正,反之为负。a为弹性中心至x轴的距离。

　　写成矩阵形式式中A,B,C和弹性中心位置a与杆件轴线形状有关,称形参数。当曲杆的轴线方程已知时,A,B,C和弹性中心位置a可以根据式(2)积分求得。如果轴线方程未知或积分困难,可将(2)各积分改为求和,即

式中A,B,C和弹性中心位置a与杆件轴线形状有关,称形参数。当曲杆的轴线方程已知时,A,B,C和弹性中心位置a可以根据式(2)积分求得。如果轴线方程未知或积分困难,可将(2)各积分改为求和,即

　　2　圆弧杆的单元刚度矩阵

　　等截面圆弧杆是最常见的曲线形结构之一,其单元刚度矩阵不难通过(2)和(5)式确定。设图(1-a)所示为等截面圆弧曲杆,所夹圆心角为2θ₀,则轴线方程为

　　将(7)式代入(5)式便可得到圆弧杆的单元刚度矩阵。

　　算例:图2所示刚架,各杆抗弯刚度均为EI,圆弧部分的圆心角均为120°,试计算1,2,3圆弧杆的单元刚度矩阵。

　　解:1,2,3杆共用坐标系oxy,形参数相同,故单元刚度矩阵相同。由(7)式得a=2.27,A=14.5,B=204.38,C=505.55,由此得

　　通过该例可以看出,如果将圆弧杆用多段折线代替,有两点不尽如人意。一是折线段太多精度虽然可以保证,但各折段所在局部坐标系不同,向整体坐标系转换麻烦,二是折线段如太少,计算精度无法保证。相比之下,用本文建立的单元刚度矩阵计算,既简单又能保证精度。

　　3　结语

　　(1)本文所建立的单元刚度矩阵通用式(5),适用于任何弹性对称和几何对称的平面曲杆,且矢高时,式(2)中的δ22要加上一项，但此种情况不多见,故文中没有考虑。