分析两端扭转弹簧约束下简支输流管道的动力特性

　　引言

　　两端支承输流管道已有许多文献从多角度分析和探讨了其动力特性和动力稳定性[1-4].Holmes[5]用Lyapunov直接法严格证明了两端简支或两端固支输流管道在定常流作用下不会发生颤振失稳.两端固支输流管道,会由于各种因素的影响造成支承的松动,使得其端部约束介于两端固支和两端简支之间的一种中间支承状态,这种约束状态可以用两端受扭转弹簧约束下的简支梁来模拟.文献[6]将管道简化为两端简支后考虑W inkler模型地基和双参数模型地基反力的作用,利用幂级数法分析了流速和复频的关系,得出增大弹性地基参数可提高失稳临界流速的结论.文献[7]对两端受扭转弹簧约束的简支输流管在其支承简谐运动激励下的振动特性问题进行了实验研究,考察了不同流速下激振频率变化对输流管道振动响应形态的影响规律.得出了在某些频率段上管道会发生多周期的复杂运动,并通过倍周期分岔而进入混沌运动.本文根据梁模型横向弯曲振动模态函数一般表达式,由两端受扭转弹簧约束的简支输流管的边界条件得到了其模态函数的一般表达式,采用Galerkin法将运动方程在模态空间内展开,根据特征方程分析其固有频率特性和失稳临界流速随各参数的变化规律。

　　1　运动方程

　　如图1所示两端扭转弹簧约束下简支输流管道,考虑Kelvin-Voigt粘弹性管材、管内流体压力效应和管截面轴向力作用,其梁模型振动方程为[8]

　　上式中,y为管道横向位移,μ为管道粘性系数,EI为管道抗弯刚度,mf为单位长度上管内流体的质量,m为单位长度上管道的总质量,P为管道内压强,T为轴向力,Af为管道过流截面积,U为管内流体流速.

　　引入如下的无量纲量,将方程(1)化为无量纲形式.

　　采用Galerkin展式将式(3)在模态空间内展开,设其解为w(ξ,τ)=∑2i=1i(ξ)qi(τ),则式(3)化为

　　方程(4)两边同乘以模态函数j(ξ), (j=1,

　　2),然后在区间[0,1]上进行积分,经过计算和整理后可得

　　式中

　　引入状态参数x={x1, x2, x3, x4}T={q1, q2,.q1,.q2}T,将方程(5)化为

　　式中

　　这里,kij, cij(i,j=1,2)为矩阵K, C的元素.

　　2　模态函数及频率方程

　　如图1所示两端扭转弹簧约束下简支管道的边界条件为

　　k1,k2为无量纲的扭转弹性系数.

　　梁模型横向弯曲振动模态函数一般表达式为[9

　　其中系数Ci(i=1,2,3,4)由边界条件确定.将式(8)代入式(7)可得下列关于Ci的方程组公

　　式(9)是关于Ci的线性方程组,其中F=k1/λ,G=k2/λ它有非零解的唯一条件是其系数行列式为零,展开后可得