超静定桁架极限载荷的有限元分析

　　在常规的结构设计中,一般都采用许用应力法。这种基于弹性极限的设计方法,没有考虑结构的塑性变形。在超静定结构中,应力超过弹性极限以后重新分布,这常可以承担更多的载荷,因此有必要对超静定结构进行塑性极限分析。在极限分析中,假定载荷为简单加载,且结构有足够的刚度,在获得极限载荷前不失稳[1]。文献[1]对某一次超静定桁架利用材料力学的方法进行了极限分析,得到极限载荷,而对于高次超静定桁架,需寻求其数值解。

　　本文提出一种超静定桁架极限载荷的分析方法。利用一维增量弹塑性有限元法对桁架进行分析。通过优化选取桁架承受极限载荷时增量法中载荷增量的步长,从而得到各种加载方式下的极限载荷。

　　1　一维弹塑性有限元的增量理论

　　1.1　一维增量理论的基本关系式

　　一维弹塑性的本构关系表达式为

式中:Δσep和ΔEep分别表示屈服后的应力增量和应变增量,下标ep说明材料是弹塑性的,H’表示材料线性应变强化参数,E表示材料的弹性模量。

　　1.2　一维增量法的迭代步骤

　　增量法中,为消除由于分段线性化而带来的残余力,文献[2]中提出在每加载增量步中进行迭代,在每次迭代中把上次迭代的残余力当作载荷作用到单元上进行计算。求出每一单元的应力以便判断其是否满足屈服准则,如果在某一单元内,实际应力大于这个容许值时,应把超出的部移走,但仍应包含在残余力矢量内以维持平衡。步骤为

　　1)记{ψ}^j(r-1)为第j次加载的第r-1次迭代的残余力,把{ψ}^j(r-1)作为第r次迭代的载荷,按弹性状态得应变增量ΔE^r和应力增量Δσr'e

　　其中σ^r-1是在第r-1次迭代中满足屈服条件的应力。

　　2)当即单元在上次迭代中尚未屈服,而在本次迭代中的某载荷值时屈服,因此应力中大于屈服值的部分必须降到弹塑性线上,移走的部分要包含在残余力矢量之中,如图1所示。

　　3)计算残余力{ψ}^jr。

　　4)利用

　　判断迭代是否满足精度要求。当收敛且满足精度要求时,进入第j+1次加载计算,否则继续下次迭代,具体步骤如图2所示。式(4)中载荷的模为

N表示该结构结点数,Pji表示第j次加载时i结点载荷。

　　2　超静定桁架极限载荷的分析与计算

　　2.1　极限状态的分析

　　图1可形象地描述如下,在D点加载,按弹性状态得到由A点确定的最终应力状态,但为要满足屈服准则,应力点只可能在弹塑性线上移动,图中

　　式(9)给出了应力由Rr-1增大时满足弹塑性条件的总应力Rr。故对于已屈服的单元,按弹性状态求得的应力σ^re与其满足弹塑性条件的应力σ^r相差,而处于弹性状态的单元都为σ^re。为消除残余力,总是通过一次次迭代,把残余力当作载荷作用在结构中,调整结构中各杆的应力,使各杆应力满足弹塑性条件,并且由满足弹塑性条件的应力求得的等效结点力与外力相平衡。当超静定桁架处于非极限状态时,即所有杆没有完全进入塑性状态,存在处于弹性状态的杆,结构中各杆的应力处于非极限状态,能够被调整,故在加载计算中,可以通过迭代调整结构中各杆的应力,消除残余力,按式(4)判断迭代是收敛的。而当桁架处于极限状态时,构成桁架的各杆都进入屈服阶段,结构中各杆的应力达到极限值,此时再加载,按由弹性状态求得的应力算出的等效结点力与外力平衡,而由于各杆实际满足弹塑性条件的应力比按弹性状态求得的应力小,存在残余力。再把残余力施加于结构中迭代计算,无法调整结构中各杆的应力,按式(4)判断迭代是不收敛的。