变厚度圆锥壳的传递函数解

　　1　引言

　　为减轻结构重量,充分发挥材料的力学性能,变截面结构,如等强度梁、变截面板、变厚度锥壳等在工程中得到了大量应用。研究这些结构在外界干扰或控制力作用下的静、动态响应,对结构设计和优化具有重要的指导意义。但由于变截面结构的运动微分方程是变系数的,能精确求解的问题非常少。因此,大多数问题只能得到近似解或只能采用数值算法求解。近年来,由于新的数学求解手段的采用,陆续得到了一些变面梁和变厚度圆柱壳等简单变截面结构的解。如冯志刚[1]得到了变截面梁的渐近传递函数解,应稼年[2]用加权残数法计算了变截面梁的固有频率,郑建军[3]用传递矩阵法分析了Winkler地基上变厚度圆(环)板的非对称自由振动,侯宇[4]采用状态空间法研究了变厚度圆柱壳的轴对称自由振动。引起这些结构的控制微分方程系数变化的因素只有一个,即结构厚度/截面的变化。

　　相对而言,变厚度圆锥壳的力学问题分析比变厚度/截面的梁、板和柱壳的分析更为复杂,因为除厚度的变化外,圆锥壳的环向曲率也是变化的,而环向曲率本身也引起微分方程的系数变化。对这一问题,目前主要采用数值算法进行分析,如Sivadas和Ganesan[5]采用截锥壳单元分析了变厚度锥壳的自由振动特性,文[6]则采用差分法计算变厚度锥壳的静力问题。最近笔者采用渐近分布参数传递函数法分析了均匀圆锥壳的静变形、自由振动、稳定性等问题[7～9]。

　　本文在文[7～9]的基础上,运用多参量渐近分布参数传递函数法,分析变厚度圆锥壳的静变形和自由振动问题。首先,建立了变厚度圆锥壳状态空间形式的运动微分方程;然后,将壳体的位移等变量沿环向展开成Fourier级数,并将控制方程关于时间变量进行Laplace变换,得到一组关于母线坐标变量X的变系数常微分方程组;最后,引入两个小参数b和E,将微分方程进行双参量摄动,采用传递函数法求解所得的摄动方程,得到相应的多级摄动解,将各级解进行组装,即构造出了变厚度圆锥壳的渐近传递函数解。对于多段组合锥壳问题,同样可以采用子结构方法进行求解。

　　2　状态空间方程

　　与均匀圆锥壳相比,变厚度圆锥壳的几何方程、物理关系、运动方程、边界条件在形式上是一致的,在此不再赘述,具体公式可参见文[9]。但因锥壳厚度随空间发生变化,变厚度圆锥壳的弹性矩阵不再是常矩阵。不失一般性,本文仅考虑轴对称圆锥壳,并限于薄壳理论适用范围。这样,锥壳厚度仅是母线坐标的函数:

　　其中,ξ∈[- 1,1]是圆锥壳母线方向的无量纲化坐标,h0是锥壳中间截面的厚度,见图1。b∈[0,1)为常数,m是某一正整数。对于等厚度锥壳b=0;对于线性变厚度锥壳,m= 1。