变截面圆杆轴向拉压时的剪应力分析

　　在实际工程中,变截面圆杆如电杆、烟囱等轴向拉仲或压缩情况比较普遍。对于由抗剪抗弯能力较差材料组成的变截面柱,在分析其横截面上的正应力的同时,注意考虑剪应力,具有一定的实际意义。

　　1分析变截面圆杆拉伸时的应力

　　如图1(a)所示，一变截面圆杆，长L，其两端截面半径分别为R₁、R₂，目在距离左端x (x>2R₁)处，取一微段dx，并画出其受力图.如图1(b)示。根据圣维南原理可知:在距离杆端大于端截面横向尺寸的其它各截面上的正应力为:。

　　由式(5)可知:dx微段左端面的应力σ(x)大于右端面的应力[σ(x) + dσ(x)}。若取左右两端面积相同的微元体，即取一半径为P的圆柱微元体分析其受力，如图2示，则左端面的水平合力大于右端面的水平合力，因为dx微段圆柱微元体平衡，所以在其圆柱面上必存在剪应力τρx，其合力大小即为左右端面合力之差，方向与右端面合力方向相同，即向右，如图2示。

　　由图2列平衡方程得:

　　经整理得

　　再利用(1), (2), (3)和(4)式，则得:

　　由剪应力互等定理可知，(8)、(9)、 (10)式即为变截面圆杆在轴向拉仲或压缩(P为负值)时，任一横截面任一点的剪应力计算公式，其方向为径向。

　　从式(8), (9)可知，τρx与ρ呈线性关系，p=0时，时，τρx达到最大值:

　　由式(11 )可知变截面杆件横截面上的正应力越大，其最大剪应力值也越大;由式((10)知，当x越大，即截面离较细一端越远，相应的τρx值越小，反之则越大。

　　2算例

　　如图3，一变截面圆柱，受轴向压力P=150kN的作用。柱长L=4m , 2R₁ =0.30m，2R₂=0.80m。试计算距上截面0.5 m和3.0 m处的正应力和最大剪应力。

　　由上例知，同一截面的最大剪应力是其正应力的，但是对于由抗剪能力较差的材料，如砖石、混凝土所组成的柱子，特别是当外力有偏心或考虑风荷载时，其剪应力值将还会增加，此时必须注意预防柱子被剪坏。

　　3结语

　　从以上分析得知，变截面圆杆在轴向拉仲或压缩时，其横截面上有正应力和剪应力;当截面一定时，正应力均匀分布，用式(3)计算;剪应力随ρ值线性分布，用式(8)、(9)或(10)计算;当ρ=R(x)时，剪应力有最大值，用式(11)计算;中性轴和外表面剪应力为零;但是在两端截面附近较小范围内应按圣维南原理考虑。

　　本文主要分析变截面实心圆杆轴向拉压时的剪应力问题，至于空心变截面圆杆的剪应力问题以及此类杆件在剪压复合应力状态的强度计算问题，有另文研究。