环形板的塑性极限统一解

    1　引言

    圆板和环板是机械、航空、土木等工程中常用的结构,其极限荷载研究具有重要的意义。Hopkins和Prager[1]采用Tresca准则、Hopkins和王仁[2]采用Mises准则对圆板极限进行了研究,它们分别适用于τs=0.5σs的材料和τs=0.577σs的材料。近年来,文献中已有采用俞茂宏提出的双剪应力屈服准则和双剪统一屈服准则求解板的极限荷载,得到了一批成果[3,6]。但是以上各屈服准则皆适用于拉压强度相同的材料,而大多数材料的拉压性能是不同的,如混凝土、岩石、铸铁及聚合物等;即使是金属类材料,近年来的研究也表明高强度钢具有明显的SD效应[7~9]。因此,考虑材料SD效应的塑性极限分析成为必要。文献中已有用Mohr-Coulomb强度理论进行极限分析,但Mohr-Coulomb强度理论没有考虑中间主应力效应,与大多数材料的实验结果不符。

    本文用统一强度理论对环形板进行极限分析,求得适用范围十分广泛的极限荷载和内力场、速度场的统一解,它充分考虑了全部应力分量,并适用于各种拉压强度相同而剪拉比不同的材料以及拉压强度不等具有不同程度的中间主应力效应的材料。

    2　统一强度理论

    1991年俞茂宏在双剪应力屈服准则的基础上,提出了统一强度理论[10,11],考虑了材料的SD效应及各种材料不同的中间主应力效应。其数学表达式为

式中b为反映中间主剪应力的系数,σt为拉伸极限强度,α为拉伸极限强度σt与压缩极限强度σc之比。

    2.1　对拉压强度相同的材料(α=1)

    (1)b=0时F=F′=σ1-σ3=σ0,即Tresca屈服准则。

(2)b=0.5时即可逼近Mises屈服准则,但数学表达式更简单且为线性表达式,易于解析求解。

    2.2　对拉压强度不同的材料

    (1)b=0时F=F′=σ1-ασ3=σt,即为莫尔强度理论。

    (2)0≤b≤1时,可以得到一系列新的强度准则,以适应各种不同的材料。

    (3)b=1时简化为俞茂宏1985年提出的广义双剪强度理论[12,13]。

    图1给出双剪统一强度理论在π平面下的屈服线图形。图2给出在双向应力下取b=0.5、α分别取0.5和1时的屈服线图形。

    3　环形板的极限分析

    设一内径为a0、外径为a的环形板,板厚为h,内边自由,外边简支,受均布荷载P。则有

式中Mr、Mθ分别为径向、切向弯矩,Qrz为横向剪力,M0为极限弯矩。设无量纲量

    根据双剪统一强度理论,它的屈服线有如下线性关系mθ=aimr+bi　　(i=1~12)        (4)

ai和bi分别为相应的常数。其值见表1。将式(4)代入式(3)并积分可得

表1中给出Li(i=1~4)即AB、BC、CD、DE线的ai和bi值。板的几何方程为