随机结构模态频率与物理参数的相关分析

　　工程实际中的结构存在着非完备观测与非完备控制,这是随机结构模型引入的现实基础。随着结构参数随机性增大,均值参数系统模态频率与随机系统模态频率均值的变异增大,忽视这种差异直接影响着故障诊断的可靠性及结构的动态性能评估。本文采用Monte-Carlo随机有限元方法研究随机结构系统的模态参数与随机物理参数的相关性。

　　1　线性随机结构的模态频率均值

　　对于具有粘性阻尼的n自由度随机系统的一个样本j,可以列出振动微分方程为:

　　根据传统的振动模态分析理论,容易得到其模态频率ωi(i=1,2,…,n)。模态频率均值为所有样本的模态频率值的集合平均E[ωi](i=1,2,…,n)。

　　2　物理随机场与模态随机场的相关分析

　　多自由度随机系统物理参数K、M、C构成一标量随机场,称为物理随机场;模态参数构成另一个标量随机场,称为模态随机场。根据工程背景,可以假设这两个场是广义均匀、平稳的,前者记为B(u),后者记为D(v)。模态随机场的相关函数为:

　　归一化自协方差函数为:

　　式中,σD(v)为标准差函数。v,v′分别代表模态随机场中的两个点。同理,可定义模态随机场与物理随机场的归一化互协方差函数:

　　式中,σD(v)为标准差函数。u,v′分别代表物理随机场和模态随机场中的一个点。

　　3　算　例

　　一个五自由度随机系统如图1所示。随机物理参数为m1、k1、c1、m2、k2、c2、m2、k3、c3、m4、k4、c4、m5、k5、c5。若设其均值为:

　　考虑物理参数同时按正态分布,且相互独立,变异系数δ=1%,5%,10%,15%,20%,25%,30%。

　　采用Monte Carlo随机有限元方法进行模态频率的变异分析和模态随机场与物理参数随机场的相关分析,样本数为5000。

　　随着物理参数变异性δ的增大,模态频率均值随物理参数变异变化规律见表1所示。模态随机场与物理参数随机场的相关分析见图2所示。

　　限于篇幅,仅给出第一阶和第三阶模态频率与物理参数的相关分析图。其中,从左至右依次代表模态频率与k1、k2、k3、k4、k5、m1、m2、m3、m4、m5的相关系数ρ。纵轴代表互相关系数,横轴代表随机系统物理参数变异系数值δ。

　　4　结束语

　　随机结构的模态频率与物理参数的互相关系数反映了随机结构的各阶模态频率与各个物理参数之间的相互依赖的程度。数值试验的结果表明:

　　(1)随着物理参数变异性的增加(δ=1%~30%),高阶模态频率均值单调增加,低阶模态频率均值单调减小,模态密集度降低;