一种非线性问题的随机载荷近似解法

　　工程结构的许多方面都包含着若干不确定因素,这些不确定因素通常可以描述为空间或时间的随机场函数或随机过程。研究结构分析中的随机因素对结构行为的影响,已经成为人们关注的热点之一。朱位秋等人[1～3]在这方面已经有了很深入的研究,随机有限元法较成功地解决了随机结构的线性分析问题,并且开始了非线性问题的随机分析。但非线性随机有限元法研究开展比较晚,1991年TeigenJ G等人[4]进行了非线性混凝土结构的随机有限元法研究,但也仅限于较简单的杆件体系。近年来这方面研究多采用摄动法来解决随机因素[5～9],此过程主要涉及刚度矩阵对随机因素求偏导,这对于非线性逐步加载过程,刚度矩阵的不断迭代中求导尤其显得繁琐困难,对于复杂的单元此过程更是难于实现,因此在工程应用方面还不能得到广泛的应用。

　　本文提出的近似解法是在非线性有限元法基础上研究随机载荷问题,采用常规的非线性有限元模型和程序,不涉及非线性有限元法已有内容以外的任何求导问题,充分利用确定性分析的结果,能够很好地应用于实际工程问题中。

　　1　非线性有限元法基本列式

　　1.1　弹塑性本构方程

　　根据塑性变形理论[10],屈服函数是应力矢量σ和强化参数c的函数,即

　　弹塑性本构关系表示为

　　式中

　　式中,Dep为弹塑性矩阵;D为线弹性矩阵;H′为反映强化条件的参数,可由简单拉伸试验获得的拉伸应力与应变之间的关系来确定,显然,对于理想弹塑性材料H′= 0。

　　1.2　屈服准则

　　本文考虑Mises屈服准则,即

　　式中,σy为单向屈服应力;J′2为应力偏量的第二不变量。

　　1.3　加卸载准则

　　对于式(4)表示的屈服准则,当f

　　若df< 0表示出现弹性卸载,应力点回到屈服面内;df= 0为中性加载,应力点位于屈服面上;df> 0为塑性加载,应力点位于扩张的屈服面上。

　　1.4　非线性有限元法

　　在解决确定性非线性问题中,通常采用两类方法即全量法——采用外载荷的全量进行迭代计算和增量法——把外载荷分成若干增量段,逐步对每一增量段进行计算,并累计求和获得最终值。

　　对增量法,目前常规的作法是将外载荷分成若干增量段,采取逐步增加载荷的办法进行求解。只要载荷增量适当小,在每一增量段内,应力增量和应变增量之间的关系可近似由下式描述

　　式中,弹塑性矩阵Dep仅与加载前的应力状态有关,而与应力和应变的增量无关。