橡胶筒承受径向载荷时的位移解析解

　　近几十年来橡胶金属筒弹性减振结构广泛用于工程实际中.该结构由刚性内、外金属套及固化在其上的橡胶筒组成.假设内套固定,外套受到径向力X的作用产生位移δ,则X/δ是橡胶筒弹性减振结构径向刚度.为了得到此刚度,需求出外套产生位移δ需加多大的径向力X,若忽略橡胶筒端面效应的影响,这就是按位移法求解的弹性力学平面问题.

　　Adkins和Gent[1]从理论和试验上研究了橡胶筒承受扭转、轴向力、径向力及偏斜载荷情况下的变形特性.Hill[2]利用无穷Fourier级数和Fourier2Bessel函数首先推导了有限长橡胶筒的径向刚度公式,其数值计算非常繁琐.Horton[3]根据变型Bessel函数推导了有限长橡胶筒的径向刚度公式.他们在推导过程中都使用了体积不可压缩假设,该假设隐含泊松比ν=0.5,可大大简化推导过程,而实际上橡胶材料的泊松比只是接近0.5,故他们求解的径向刚度存在较大误差(见文献[3]图3).张丰发[4]等采用电荷耦合装置测量了不同橡胶材料在小变形时的泊松比,其值为0.48.O′Hara[5]测量了硅树脂橡胶材料的力学特性,结果显示泊松比在0.48~0.49范围内.蒋学武[6]测量橡胶材料的泊松比在0.485~0.495之间.Busfield和Davies[7]通过试验研究表明现在常用的径向刚度理论解都不正确.故分析橡胶筒径向刚度时应考虑泊松比ν的影响,而不采用体积不可压缩假设.

　　在此背景下,文中未采用体积不可压缩假设,推导了该问题的位移解析解.该解可用于精确求解橡胶筒的径向刚度.本文的推导过程如下:首先,建立径向受力模型并给出控制方程;其次,采用分离变量法假设筒内任意一点的位移,代入控制方程推导出关于位移的欧拉方程组,解此方程组并得到满足边界条件的位移解析解;最后,将位移解析解与有限元计算结果进行了比较.

　　1　平面应力模型及控制方程

　　橡胶筒内外半径分别为a和b,径向和周向位移受到刚性金属套的约束,假设橡胶筒轴向位移不受约束,即处于平面应力状态.文中采用极坐标系,橡胶筒内任意一点P的坐标为(r,θ)(见图1).假设内套固定,外套沿x轴正方向受到常力X作用,并沿该方向产生位移δ(见图2).

　　假设橡胶是连续、均匀、各向同性的,并且变形为小变形,满足经典线弹性理论[8,9]的要求.点P的径向、周向位移分别为u和v.当边界条件为内表面固定时,则

　　当外表面沿x轴正方向移动δ后,则

　　点P的径向、周向正应变及面内剪应变分别为:

　　应力应变分量满足广义胡克定律

　　式中: E为杨氏弹性模量;G为剪切弹性模量;ν为泊松比.它们满足如下关系:G=E2(1+ν),应力分量应满足平衡方程: