用半解析环形板单元解旋转圆环板的动频问题

    摘　　　要:使用半解析环形板单元求解零部件转动时的固有频率(零部件转动时的固有频率称为动频),推导出离心应力使单元增加的附加刚度矩阵,给出动频的求解过程,计算的结果被实验证明·这种单元适用于研究金属切割锯片、盘形锥齿轮等旋转零部件的动力学问题

    结构为轴对称的圆环板,当所受的载荷垂直板面、沿周向旋转时,其振动是沿着圆环板的周向传播的波动振动[1]·此时,使用常规的有限元法已不便求解·依据波动振动的特点,本文提供了一种解决此问题的有效方法半解析环形板单元法,并利用这种方法求解了在考虑旋转时离心力影响情况下圆环板的振动频率(即动频)问题·

    1　半解析环形板单元

    将圆环板划分为多个同心圆环,每个同心圆环为一个环形板单元·由薄板假设[2]可知,薄圆环板的振动可看成是二维问题,根据圆环板结构的轴对称性及载荷的非轴对称的特点,挠曲函数设成环向是解析的三角级数,径向是离散的插值函数,其形式如下[3]:

式中,m为节径数,θ为环向转角, W(r)为径向的一维插值函数·

    在不考虑离心力影响的情况下,环形单元的每条节线上只有轴向挠度W和径向转角ξ两个自由度,根据薄板假设有,,则每个单元有4个自由度,设W(r)为

上式中的系数矩阵{A}可由待定系数法求得,并可进一步求得挠曲函数为

式中,系数k是单元的节线(即单元边界线)数,{δ}为单元节线的位移列阵,矩阵[C]是{δ}的系数矩阵·由最小势能原理就可以得到此时单元的刚度阵和质量阵

    利用三角函数的正交性,这里的单元刚度阵[K]e和质量阵[M]e的各个子块中,只有位于对角线上(即m=n时)的子块不为零·应用有限元的集合规则形成整体的刚度阵和质量阵[K]、[M]而获得频率方程:

    [M]{¨δ}+[K]{δ} = {0}·          (6)

式(6)的求解及结果见文献[4]·

    2　旋转离心力引起的板内应力

    圆环板在旋转过程中,由于有离心力的作用,在板内产生了径向应力σr和环向应力σθ,圆环锯片的几何形状是轴对称的,所受的离心力也是轴对称的,且与环向转角θ无关,故其平面内的应力也与θ无关,即锯片内不含有剪切应力τrθ·设圆环板转动时所产生的径向位移为

其中,[D]是平面应力问题的弹性矩阵·轴对称平面拉伸单元的刚度阵为[5]

按照有限元的集合规则,将单元的刚度阵、广义位移列阵和载荷列阵分别集合成各自相应的整体矩阵[-Kp],{-δ}和{-f},形成方程:

    [-Kp]{-δ} = {-f}·         (12)

解式(12),可得到广义位移列阵{-δ},进而可以求出各个平面拉伸单元的位移列阵{δ},将之代入到式(9)中,则平面内应力σr和σθ可以表示成半径r的函数·