求解旋转板、壳振动问题的半解析有限元分析

    工程上广泛应用的构件大多是轴对称结构,如圆柱壳、圆环板等,很多学者对此类构件的振动进行了深入研究,文献[1~5]分别从理论上分析了薄壁圆柱壳的自由振动,这些研究只局限于特定的边界条件,如果边界条件一旦发生变化,则分析起来就比较麻烦;也有学者用有限元分析了轴对称结构体的自由振动[6,7],此种方法适用于不同的边界条件且计算结果比较准确,但由于采用了轴向、环向和径向离散的解析函数,花费计算机时间较多·本文用半解析环形有限棱柱单元分析了不同边界条件下轴对称结构体的自由振动·

    1　环形有限棱柱单元的理论推导

    将轴对称结构体划分为许多同心环形棱柱单元,为了提高计算精度,每个单元都是8结线等参元,如图1所示·

    根据求解问题的特点,将位移函数建成环向按振型取三角级数而径向和轴向为离散的插值函数·

式中,ukm,vkm,wkm为单元各结线的轴向、环向和径向位移; m为节径数;θ为环向转角;Nk为各结线的形函数,其形式与平面8节点等参元的形函数相同·将式(1)写成矩阵表达式为

式中,{Δ}={u v w}T为单元上任意一点的位移列阵;{δ}、[N]是单元上的结线位移列阵和形函数矩阵,可写成分块形式

    可得应变分量的计算公式

式中,[B]是单元的应变矩阵,可写成分块形式[B]=[B1　B2…Bq],而子矩阵又可写成分块形式:[B]m= [B1m　B2m…B8m],m =1,2,…,q·其子矩阵

式中,k=1,…,8·

    由有限单元理论[8]可得单元的刚度和质量矩阵为

式中,i,j=1,2,…,8;m1,m2=1,2,…,q;|J|是雅可比行列式·由于矩阵[Bi]m1, [Bj]m2,[Ni]m1,[Nj]m2的元素中含有三角函数,由三角函数的正交性可知

当m1≠m2时,

当m1=m2时,其值不为零,即单元刚度和质量矩阵的各个子块中,只有位于对角线上的子块不为零·对角线上的子块为

式中,i,j=1,2,…,8;m=1,2,…,q·

    在计算结构的固有频率时,通常先将节径数取定值,计算出此时的各阶节圆型固有频率,然后再循环取不同的节径数进行计算·当节径数取定值时,单元的刚度和质量矩阵为

其子块形式同式(4)·

    按照有限元的通常集合过程,将单元的刚度矩阵[K]em和质量矩阵[M]em集合成整体的刚度阵[K]m和质量阵[M]m,最后得到动力学方程

    [M]m{¨δ}+[K]m[δ] = {F(t)}·    (5)

式中,{F(t)}是等效节点载荷列阵·当只考虑自由振动时,上式变为

    [M]m{¨δ}+[K]m{δ} = {0}·         (6)

    由上式就可分析不同边界条件下轴对称结构体的自由振动,即可以计算出固有频率和振型·