架空电线在悬链状态下的非线性振动响应分析

　　0　引　言

　　输电线的振动,常常是引起输电线路发生故障的一大隐患,因此分析输电线的振动,是一个十分重要的工程实际问题。文献[1]-[3]曾对架空电缆的非线性自由振动作过一定研究,尤其是文献[3],对有初始弛度的悬挂电缆自由振动的非线性特性进行了很好的分析。本文就来研究考虑初始驰度的架空输电线的非线性强迫振动。首先,本文应用大位移理论,推导了考虑初始驰度影响的输电线的强迫振动微分方程。然后,讨论了其响应的近似解,分析了初始驰度对响应的影响,得到了一些结果,这对于架设电线或维护输电线路安全,都将是有益的参考。

　　1　基本方程

　　如图1(a)所示两端悬挂的电线跨度l,横截面积A,材料弹性模量E。在静平衡时,电线中心在x处的初始下垂y(x),初始张力T0(设电线自然长度与l的差别忽略不计)。考虑对应dx的电线之中心线线段d r0[如图1(b)所示],其始、末端对其平衡位置沿x,y轴向的位移分别为u(x,t),v(x,t)和u + uxdx,v+vxdx(符号()x表示()对x的偏导数)。于是d r0= dx i+dy j,△ r1= u i + v j,△ r2= (u + uxdx) i + (v +vxdx) j,d r = d r0+△ r2-△ r1。

　　对应的PP1= ds0,P′P′1= ds。则

　　式中ρ为电线密度,“·”号表示对时间t的导数,f(x,t)表示单位长度电线上沿y轴向的外力。

　　方程(7)和(8)为考虑初始弛度影响的电线在xoy平面内的运动微分方程。其中纵向惯性力ρA¨u一般较横向惯性力ρA¨v小。假设略去纵向惯性力,且EA为常数时,由方程(7)得

　　方程(11)为电线横向振动的偏微分方程。当f(x,t)=0时,即为自由振动微分方程,该结果与文献[3]一致。

　　为了方便起见,将方程(11)写成无量纲形式,引入

　　式中a0为电线跨度中点的初始垂度(弛度),ω为电线的一阶线性频率。与张力T0相同的直电线的一阶线性频率为

　　式中表示~v对τ的二阶导数。方程(14)为考虑初始弛度影响的电线横向振动微分方程的无量纲形式。显然,方程(11)和(14)均含横向位移偏导数的二次方和三次方项,其为平方和立方非线性微分方程。

　　2　近似解与结果的分析

　　设电线受均布的横向载

　　式中P0以N/mm计(如电线受风雨作用,有时就可简化成这种载荷)。若电线悬点等高,则

　　假设电线的初始垂度和位移分别为

　　2.1均布谐扰力情况

　　下面应用多尺度法来求方程(21)的近似解。仅讨论Ω≈ω时的主共振情况,故考虑软激励,约定P=ε³k,ε表示振幅量级的无量纲小参数,ε<1,k =0(1)。引入

　　式中Tn=εnτ,qi不存在久期项。将式(22)和(23)代入方程(21),并令两端ε、ε2和ε3的系数分别相等,得