地面运动激励下结构的动力学形状优化设计

　　引　言

　　渐进结构优化法(Evolutionary Structural Op-timization,简称ESO法)基本概念很简单[1～2],即通过把无效的或低效的材料一步步去掉,结构逐步趋于优化。在优化迭代中,该方法采用固定的有限元网格,对存在的材料单元,其材料数编号为非零的数;而对不存在的材料单元,其材料数编号为零。当计算结构刚度矩阵等特性时,不计材料数编号为零的单元特性(通过数据映射转换,建立固定有限元网格数据信息和计算结构刚度矩阵等特性所需的有效网格数据信息关系)。通过这种零和非零模式实现结构拓扑优化。特别是该方法可采用已有的通用有限元分析软件,通过迭代过程在计算机上实现。算法通用性好,不仅可解决尺寸优化,还可同时实现形状与拓扑优化(主要包括应力,位移/刚度或临界应力约束问题的优化),而且结构的单元数规模可成千上万[1～9]。尽管该方法的收敛性有所欠缺,但许多算例巳证明ESO方法在解决实际问题时是非常成功的[1～9]。

　　大型土木结构在它们服役期间常受到地震环境的影响,地震环境中的连续体结构动力学形状优化问题在工程中极其重要,但是研究较少。本文基于ESO方法,研究地震环境中的连续体结构的动力学形状优化设计方法。

　　1　地震地面运动激励下结构的随机振动描述

　　在外界环境激励下,结构某几个节点的平均随机均方动响应小于或等于指定的容限值是结构动力学设计的要求。而且,对于工程结构,用白噪声谱来模拟地震已有广泛的应用,它是地面地震加速度的近似,不仅具有理论意义,而且其结果也具有实用价值[10]。本文首先利用模态分析理论,建立在有白噪声地面运动加速度的作用下,平均随机均方动响应的约束准则表达式。

　　结构动力学问题的有限元方程可写成下式

　　式中　[M]、[C]和[K]分别是结构的N×N维质量、阻尼和刚度矩阵;N是结构自由度总数;{f(t)}是地面运动引起的载荷矢量,fg(t)是地面运动加速度。对集中质量有限元模型,{Ix}表示相应于所有水平自由度的元素为1,相应于其他自由度的元素为0的一个矢量。而{x}、{x。}和{x¨}分别是结构的相对位移、相对速度和相对加速度矢量。

　　假设地面加速度fg(t)具有零均值和自功率谱Dg,则

　　式中　ζi是第i阶模态阻尼比;pi是[Φ]T{f(t)}的第i个分量,称之为第i个广义力;n是结构截断模态数;ωi和{φi}(i=1,2,…,n)分别是结构的第i阶固有圆频率和相应的质量正则化振型;qi是结构第i个广义模态坐标。由随机振动理论有

　　对于小阻尼ζi<1的实际情况,方程(6)描述的系统脉冲响应可表示为

　　在一系列推导后,可得模态响应互协方差矩阵如下