Mindlin板几何非线性分析的广义变分原理

　　0　引　　言

　　众所周知,板壳结构的几何非线性分析起源于Von-karman薄板大挠度理论[1]。Mindlin板元由于有限元列式简单、精度较好,特别是近年来解决了极薄板情形下的剪切自锁问题[2～5],故可厚薄板通用,并在非线性应用方面也日渐广泛。但有以下值得注意:

　　(1)这类单元非线性分析的理论及列式一直建立在薄板分析的基础上,基本上未作重新推导,但薄板大挠度理论的前提是Kirchhoff假设,即认为板的中面法线在变形后仍保持为直线,其转角和中面的斜率相等

(本文为简单清晰起见把一阶偏导数的记号“,”写在字符的右下方),而Mindlin理论认为二者不再相等,其差值即为截面的平均剪切角

这对于板的几何非线性变形协调关系是否产生影响应值得研究,直接引用薄板公式如非线性应变

当θ_x独立插值且引用kirchhoff约束时[5],由(1)式可知容易引起混乱。

　　(2)有关Mindlin板非线性分析的变形协调性及控制微分方程的形式与性质等,以前很少见过这方面的讨论,而这对于理论解及数值分析而言均具有重要意义。鉴于此,本文采用二类变量广义余能原理进一步探讨研究了Mindlin板几何非线性分析的基本问题,由变分原理可导出板的全部方程和边界条件,即平衡方程、位移和内力的本构关系,以及位移与力的边界条件等。

　　1　变分原理

　　文献[6,7]分别用拉格朗日乘子法导出了二类变量广义余能原理,并就板的线性分析证明了拉格朗日乘子此时就是广义位移。文献[6]还首次给出了大位移情形下二类变量广义余能原理,其余能泛函的张量形式为

式中B(σ_ij)为余能密度,ui为位移张量,σ_ij为应力张量,S_p、S_u分别为已知外力及已知位移的二类边界,为已知的边界面力,为已知的边界位移,n_k为边界面的方向余弦,σ_ij为kroneker符号。由余能原理可导出,满足大位移理论下的应变位移关系

与应力平衡方程

以及力边界条件

和位移边界条件

的解u_i、e_ij、σ_ij必使(4)式的泛函取驻值。

　　文献[6]在介绍这个变分原理时还特意指出其“一直是公认的困难问题”,故本文采用一阶近似理论进行处理。鉴于余能原理和变形协调原理的等价性,因而所导出的基本方程是满足变形协调条件的。此外,本文采用总体的拉格朗日型描述方法(T.L.列式法),并将相应的Green-Lagrange应变张量和第二类Piola-kirchhoff应力张量采用工程量的表示方法。

　　2　一阶近似与泛函的变分

　　本文对余能泛函(4)式采用一阶近似的处理方式[8],即