强脉冲载荷作用下弹-塑性薄圆板的大挠度动力响

　　1 引 言

　　在强动载荷作用下,关于圆板的动力行为的分析和处理代表了板、壳结构研究方法的一般特征,因此,对于圆板的研究有着极大的理论价值和实用意义。40多年来,在忽略弹性效应的假定下,人们利用简单刚塑性理论,作了大量的工作[1],为理论分析和工程设计提供了简单的近似解法。也有从数值计算方面着手,考虑弹性效应后而进行分析的报道[2~3]。

　　近年来,赵亚溥[4]等发现了圆板响应过程中的/饱和冲量0现象,但由于他们的分析是以刚塑性理论为基础的,因此,所得到的结果还需作进一步更为精确的检验;最近,ZHU等[5]研究了方板的弹塑性动力响应,提出了分别相应于/最大变形0和/永久变形0的/饱和冲量0。对于圆板,这两种饱和冲量的存在与否,需要进行弹塑性分析来考察。

　　计及有限变形效应后,结构的弹塑性响应还有可能呈现与小变形分析明显不同的特征,在文献[6]中,我们利用最小加速度原理[7],分析了梁在响应过程中的异常行为。因此,基于最小加速度原理的分析方法能够真实地模拟结构的实际响应过程。这一点是非常重要的,特别是在数值计算技术已得到快速发展的今天,上述方法必将成为力学分析的一个方便、有效的研究手段。

　　在本文中,将应用最小加速度原理探讨圆板在冲击载荷作用下的动力行为,特别是考察圆板响应过程中的/饱和冲量0现象。

　　2 薄圆板离散形式的运动控制方程及其求解方法

　　2.1 薄圆板的Lee泛函及离散形式的运动方程

　　周边铰支的薄圆板,其半径、厚度分别为R、h,有横向集中载荷P(t)作用。因圆板的轴对称性质,采用圆柱坐标(r,θ,z),并设圆板中面的径向位移、横向位移分别为U(r,t),W(r,t)。由直法线假设,板内各点的位移可表示为

　　只考虑大挠度效应时,相应的应变为

　　将上述的位移和应变的表达式代入Lee泛函[6],并不计体力,则可得到圆板的泛函

式中:膜力Nr、Nθ和弯矩Mr、Mθ分别为

　　为了直接离散泛函,取等分点

式中:Δr、Δz分别为取定的径向和横向的空间步长,圆心为r1。

　　可利用中心差分公式将(3)中的空间导数项化成差分形式,然后应用求积分的梯形公式和周边铰支的边界条件,从而得到离散形式的泛函J的表达式。根据最小加速度原理

　　由上式可得到离散形式的铰支圆板的运动控制方程,该方程组包含了膜力效应和转动惯性效应,因而是在大挠度意义上以圆板中面各点的位移Ui、Wi表示的常微分方程组。对于载荷作用前为静止的铰支圆板,其初始条件为