平面应力分析时极值应力平面方位判定的简捷作图法

　　1　平面应力状态解析法分析的主要结果

　　在应力状态理论中,平面应力状态的解析法分析得到斜截面应力的变换公式,并由此推导出主应力公式及主平面方位角公式、最大剪应力公式及最大剪应力平面方位角公式。斜截面应力变换公式:

　　解析法得到的上述公式在计算主应力、极值剪应力的大小时精确、方便,但其缺点是:主平面、极值剪应力平面方位角用上述的公式计算出来后,较难确定其对应关系。解析法对主平面、极值剪应力平面的方位的难确定性,使得在实际应用分析时极不方便。即使找出其对应关系,也因为结论复杂、难记忆而不好应用[1,2,4]。但是主平面、极值剪应力平面的方位对于分析解决强度问题很重要,于是不得不借助于应力圆法来判定。

　　2　应力圆法

　　单元体的斜截面应力σα、τα所决定的ORS坐标系内的点(σα,τα),是在以点为圆心,以为半径的圆上。该圆即单元体的应力圆,又称摩尔(Mohr)圆。

　　应力圆与σ轴的交点A₁、A₂对应着两个主平面,E₁、E2点对应着极值剪应力的平面。在应力圆上,量取一点的坐标和从C₁点沿圆弧转到该点所对的圆心角,即可对单元体进行应力分析。例如,现在要确定A₁点所对应的主平面方位角,量取∠C₁DA₁=2α0,则A₁点所对应的主平面方位角大小为α0,其正负号则根据从C₁点沿圆弧转到A1点的方向来确定:逆时针为正,顺时针负。图示C₁点沿圆弧顺时针转到A₁点所对的圆心角是2α0,故A₁点所对应的主平面方位角为-α0。

　　应力圆法较为直观,但须量取角度并确定转向。这使得在简要分析主方向时过分繁琐,并且量取数值确定平面方位使作图法的直观性和效率降低,容易产生失误。

　　3　平面应力分析极值应力平面方位判定的简捷作图法

　　简捷作图法判定主应力方向的依据仍为应力圆法,它是应力圆法的引深。其作法如下:在作应力圆时,选ORS坐标系的R轴、S轴的方向与单元体的X轴、Y轴相同。

　　3.1　确定主平面方位

　　作参照点C₁以σ轴为对称轴的对称点C₁′,连接C₁′与A₂点,连线的方向即为σ₁对应的主平面法方向;连接C₁′与A₁点,连线的方向即为σ₂对应的主平面法方向。

　　上述作法的正确性证明如下:

　　如图1所示,圆心角为顺时针方向,大小满足从而有tg2α0=

满足解析公式(1)。故A₁点所对应的主应力σ₁平面的法线与X轴的夹角为-α₀。图中连线与σ轴(即X轴)的正向夹角大小为它是圆心角∠C₁′DA₁的一半;而由于C₁、C′₁对称,故∠C₁′DA₁=∠C₁DA₁= 2α0,即得角∠C₁′A₂D=A₀且连线与X轴正向夹角为负值。因此,连线为主应力σ1平面的法线。对于连线为主应力σ₂平面的法线这一结论的证明,与上述证明过程类同。或利用主平面相互垂直的性质,简要证明:由几何学知,为直角三角形,即相互垂直。已证连线为主应力σ1平面的法向,故连线为主应力R2平面的法线。所述作法正确。