复杂荷载作用下单轴对称开口薄壁梁柱的弯扭屈曲

    在最大弯曲刚度平面内弯曲的薄壁梁柱,当荷载达到某一临界值时可能发生弯扭屈曲.弯扭屈曲分析的经典理论[1～3]忽略了屈曲变形引起的附加弯矩的影响,虽然可以得到构件弯扭屈曲的闭合解答,但得到的临界荷载有一定误差.

    本文采用三角级数表达式来描述构件屈曲前挠度曲线,然后根据Rayleigh-Ritz法求解单轴对称开口薄壁梁柱在两端等弯矩、横向集中荷载和均布荷载作用下的弯扭屈曲临界荷载.本文工作是作者以往研究工作的推广[4].

    1　弹性弯扭屈曲理论

    研究如图1所示在对称平面内作用等弯矩、横向集中荷载和均布荷载的单轴对称开口薄壁梁柱的弯扭屈曲临界荷载.

    分析中引入的基本假定是:变形微小;不考虑局部变形;忽略中面剪应变的影响.

    考虑屈曲前荷载作用平面内挠度对弯扭屈曲临界荷载的影响,计算简图如图2所示.构件在中性平衡状态时,由侧向弯曲、扭转及外力所产生的总势能变化为

其中A为截面积;Ix,Iy分别为对x和y轴的截面惯性矩;J为截面扭转惯性矩;Iw为截面翘曲惯性矩;E,G分别为弹性模量和剪切模量;v为沿y方向的位移;φ为截面绕剪切中心的转角;My为构件截面的弯矩.

    构件屈曲前变形u和截面弯矩My,采用Timoshenko所推导的挠度曲线精确表达式[3]并利用叠加原则得到,即

式中Vi和i是满足端部边界条件的函数,ai和bi是不定参数.

    本文对v和φ取前两项,并考虑如下3种常见的边界条件

    (1)两端简支且翘曲自由,即

    当z= 0,l时:　u=v=φ= 0,u″=v″=φ″= 0

    位移函数为:

    (2)两端简支且翘曲约束,即

    当z= 0,l时:　u=v=φ= 0,u″=v″=φ′= 0

    位移函数为:

    (3)两端绕y轴简支,绕x轴嵌固,翘曲约束,即

    当z= 0,l时:　u=v=φ= 0,u″=v′=φ′= 0

    位移函数为:

    将式(3)和假定的位移函数代入式(1)中,并利用三角函数的积分性质对式(1)化简,然后根据Rayleigh-Ritz法,即令

    由此得到一组关于不定参数ai和bi(i= 1,2)的齐次线性代数方程组,ai和bi(i=1,2)不全为零的充分必要条件是其系数行列式为零,于是得到弯扭屈曲的稳定方程为

式中,为与边界条件有关的系数,d₁～d₃,s₁～_s4为与边界条件和横向荷载有关的系数,见表1.

    由于表1中某些系数包含a,而a为P的函数,所以根据式(9)不能求出弯扭屈曲临界荷载的闭合解,须利用迭代法求解出所需精度的近似数值解.