复合材料层合厚圆柱壳高阶理论的改进及其应用

    随着复合材料的广泛应用,有关复合材料板壳结构的分析计算日益受到重视,复合材料圆柱壳的固有特性分析也有不少学者进行了研究,它们大多采用了Donnel理论或者Kirchhoff-Love理论,没有考虑横向剪切及转动惯量的影响。即便有些文献考虑了横向剪切的影响,一般也都忽略了法向应力和法向应变的影响,这种忽略在许多场合是合理的,但在板壳很厚时,误差将会较大,该假定就不合适了。从现实可行的角度来考察,LCW高阶理论对于位移分量所作的假定是很精确的,计算精度也大为提高,但是计算工作量很大。为了减少高阶理论的复杂性,许多学者将LCW理论作了多种修正和简化,针对各种情况提出了各种精化高阶理论。笔者正是基于这种既要减少计算工作量又要考虑法向应力、法向应变和横向剪切影响的思想,利用壳结构上、下自由表面横向剪应力为零的边界条件将LCW理论的11个位移函数简化为7个,从而提出了一种新的位移模式,并对该圆柱壳结构建立了相应的有限元列式来进行复合材料厚圆柱壳的振动分析。

    1　高阶理论及其有限元列式

　　圆柱壳的几何坐标系如图1所示。圆柱壳长为L,厚为t,半径为R。正交曲线坐标系(x,θ,z)取在圆柱壳的中面上,且是沿轴向,沿圆周向,是横向坐标。

　　笔者所采用的基本假设为:

　　(1)柱壳内各层的厚度和材料是均匀的;

　　(2)层合圆柱壳上、下表面切向载荷为零,则上下表面的剪应力和剪应变为零。

　　利用假设2将LCW型的11个位移函数的位移场简化为

此位移模式可以写作

　　定义广义位移向量为:{d}={u0　v0　w0　φx　φy　φz　ξz}^T,并且采用8节点四边形超参数三维退化壳元,则每个节点具有7个自由度。节点的广义位移矢量为:{δi}={u0i　v0i　w0i　φ_xi　φ_yi　φ_zi　ξzi}^T,由此得单元广义位移矢量{δ}={δ^T1　δ^T2　δ^T3　δ^T4　δ^T5　δ^T6　δ^T7　δ^T8}T。因此单元内任一点的位移在总体坐标中为:

在上述的表达式中,ζ、η、ζ是曲线坐标系的坐标,h为壳厚,Ni为与节点i相关的形函数,它在节点i处的值为1,而在其它各节点处的值为0,其表达式如下:

有{ε}=D[N-]{ε},则令[B]=D[N-],称为单元应变矩阵。这样有[B]=[B₁　B₂　B₃　B₄　B₅　B₆　B₇　B₈],其中Bi=D[N-i]=[D[Ri]　D[Qi]　D[Ki]　D[Hi]],这里[Ri]、[Qi]、[Ki]、[Hi]与位移矩阵[N-i]中的相同,且有

上式即为单元应变矩阵[B]的第i块元素的具体表达式,如果将ζ的常数项、一次项与二次、三次项划分开,可知前者是代表一阶剪切变形理论的表达式,后者是用高阶位移模式后增加的项,可以看出增加的正是厚度方向的二次项与三次项。