有摩擦时悬臂细长杆大挠度弯曲的解

　　在开发城市及高速公路栅栏专用清洗汽车时,遇到清洗刷刷丝的设计问题,其简化的工作过程如图1所示:截面形状为矩形的栅栏垂直于地面固定不动,清洗刷刷体A端固定刷丝,其至矩形管的距离为l,作平行于矩形管的运动1刷丝为等截面细长杆,当细长杆碰到矩形管时,使细长杆弯曲变形1设矩形管与细长杆间的摩擦系数为f,试求作用在刷体上的作用力F及当悬臂细长杆与矩形管脱离接触后,悬臂细长杆恢复原样的条件。

　　显然,只要使悬臂细长杆任一截面上的最大应力小于材料的弹性极限,即可使悬臂细长杆复原。因此,该问题总是可转化为求解悬臂梁所受的载荷,然后运用材料力学公式进行判别。笔者在文献[2]的基础上进行分析。

　　1 矩形管作用在悬臂梁上的载荷

　　设悬臂梁长度为L,工作过程如图2所示。

　　工况I:矩形管Bc点与悬臂梁B点相接触且悬臂梁上接触点B的转角(如图2a所示)。

　　直梁平面弯曲时任一位置k的曲率1/ρ与该位置弯矩TW之间的关系是

式中 EI—梁的抗弯刚度

　　由于矩形管Bc不能承受x轴正向的作用力,即矩形管作用在悬臂梁上的载荷N在x轴方向的分力时载荷N总是垂直于x轴。

　　将作用力N分解为垂直于悬臂梁在B点的切线上分力P以及平行于悬臂梁在B点的切线上的分力P.f*(f*是个变量,)由图2a可知任一点k的弯矩为

　　工况II:矩形管Bc点与悬臂梁相接触且悬臂梁上接触点B的转角(如图2b所示)。在此工况

　　工况III:当矩形管B‘点与梁接触后,在L/l所对应的角度θB时,悬臂梁端点B位于矩形管BcBd面上,其受载状况如图2c所示.此时

　　另外还有θB>π/2时的工况,因其在工程上很少出现,此处不进行讨论。

　　将式(2)、(3)、(4)代入式(1),并将边界条件代入,经积分得

式中 L*_i—悬臂梁A点至与矩形管接触的B点间的工作长度

　　y_Bi—悬臂梁B点的y轴向位移

　　—工况I、II、III的积分系数,其中

　　根据式(5) ~ (8)可得

　　在B端作用力P及Pf的作用下,悬臂梁固定端A所受弯矩的绝对值为

　　2 讨 论

　　(1)积分系数Fi(θB)、Fxi(θB)、Fyi(θB)以及由这三个函数推导出的弯矩系数FTAi(θB)及轴向载荷系数FNxi(θB)、FNyi(HB)大部分为无量纲超越函数,可用数值积分法求解1为便于使用,可将数值积分结果制成表格以备查用。

　　(2)根据计算可知,Fi(θB)、Fyi(θB)为单调增函数;Fxi(θB)先是增函数,后为减函数,其极值点在54b6c(f =0) ~50b(f =0.8),并随着摩擦系数f的增大,Fxi(HB)峰值点向HB减小的方向偏移,同时Fximax(HB)值也相应减小了,但合力Nmax= Pmax/cosA却增大了。图3为摩擦系数f=0.8时积分系数Fi(HB)、Fxi(θB)、Fyi(θB)与悬壁梁B点转角HB间的关系。