厚矩形板在静水压力作用下弯曲问题的边界积分法

　　0引言

　　由于经典弹性薄板弯曲理论不考虑横向剪力对变形的影响,所以当板的相对厚度较大,以及在板的支撑边缘或开口附近,就会引起相当大的误差,因此,存在很多考虑横向切变形影响的板弯曲理论,诸如Reissner,Henkey,Kromn,Mindlin和Donell一Pane等理论。本文应用早期最著名的并得到广泛采用的Reissner理论。

　　对于求解厚矩形板弯曲的方法,有叠加法、变分法、有限层法和初始函数法等方法。在这些方法中,叠加法获得了广泛的应用,而且也是较好的方法。叠加法能被应用于求解某些复杂边界条件的问题,但是,它有两个缺点,其二是,把一个复杂边界条件的问题分解为若干简单边界条件的问题并把它们叠加起来并不是件容易的事;其次,从头到尾地求解所有被叠加的边值问题过于繁琐。

　　1.基本方程

　　对于Reissner理论，控制方程为

　　切力、弯矩、扭矩和转角分别为

　　对图1所示的支撑情况，边界条件为

　　2基本解

　　如图2所示，取受单位横向二维Dirack-delta函数作用的简支矩形板为基本系统，在这种情况下，控制方程(1)成为

　　称该基本系统的解为基本解，易于知道，该基本解为

　　3在静水压力下的简支厚矩形板的弯曲问题

　　如图3所示。

　　在图2基本系统与图3实际系统之间应用边界积分法,效载荷,并且把为实际系统的等效载荷，得到：

　　为了计算方便,将(lesy/b)展开成级数形式为

　　将式(15)、(23)、(24)代入式(21)后,再经过积分化简得

　　同理,将式(16)、(17)代入式(21)中得

得到结果与式(27)相同,同理也可以把式(18)、(19)代入式(21)中,由于篇幅有限表达式不给出了。将式(27)代入边界条件式(10)中得p=O,易于验证式(27)满足边界条件。

　　下面给出由式(27)得到的内弯矩表达式

　　4数值算例

　　实际求解式(27)的过程中,总是只取有限项,得到具有足够精度的近似值,所以必须研究应取多少项才能得到满意的结果。对于厂0.3的矩形板,通过计算表明当取20项时,已达到了足够精度,所以在计算中取20项。

　　下面具体讨论矩形板a=20m,b=1om,厂0.3的挠度值。

　　图4、图5给出了板的挠度随板厚h和坐标值F的变化曲线

　　图6给出了板的挠度随的变化曲线。

　　5结论

　　1)文中得到的封闭解析解是正确的。