由纵向振动引起的质点与圆锥形杆碰撞问题的解析解

　　引　　言

　　杆的纵向碰撞问题是工程力学中最重要的问题之一.在过去20年里,波传播法被广泛用于解决此问题,其中波传播问题的经典理论以杆纵向受碰撞的St. Venat解为基础,此方法由Goldsmith[1], Graf[2]研究并总结过.纵向撞击波问题的符号运算是最近的进展之一[3,4].对等截面杆而言,除撞击持续时间外的其他重要变量,如应变和位移,都能用符号运算的方法获得.而对具有变截面的杆,相应问题只有少数有解析解.如对于圆锥形杆落到地面的问题,由计算机代数得到了复杂的符号运算结果[3].

　　然而,还有其他一些方法来解决此问题.例如,St.Venat以及Timoshenko[5]使用脉冲函数响应法和模态叠加法分析质点与梁的横向撞击问题.这个方法被发展成为时间积分法并被广泛用来解决撞击问题.Sankzn和Yuganva[6]使用拉氏变换法求解了杆撞击地面时的纵向振动方程.

　　文献[1]中提到的叠加法,把撞击物和靶体看作两个独立的振动系统.其优点是模态不随撞击物质量改变而改变.然而,其缺点是难以提高方程解的效率和精度.这个问题由诸、邢[7]使用直接叠加法得到解决,他们认为质点和杆形成一个整体的振动系统·问题被简化为具有初始条件的振动系统,应用模态叠加法获得有线性变形和无接触变形时问题的解析解·本文基于文献[7]和文献[8]给出质点和圆锥形截面杆碰撞的解析法,这里要用到不等截面杆振动问题的结果,如圆锥形杆振动问题的解由Abrate[9],Kumar和Sujith[10]研究过·据此,本文给出圆锥形杆的位移和应变响应的精确解·

　　1　纵向碰撞的数学模型

　　考虑一个均匀的弹性杆,在x= L处受到一个运动的刚性质点的碰撞·此质点具有质量mpar和初速度V0,如图1所示.杆的弹性模量是E,密度ρ,截面积A(x),长度为L,质量是mrod·

　　本文的方法基于如下的假设

　　1)杆的横向波及撞击物的振动可以忽略,因此此系统看作一个质点_杆系统·

　　2)在撞击瞬间,根据St.Venant理论,杆撞击端(x = L)的速度在瞬间达到V0·变截面杆的纵向运动方程为[10]

　　2　基于叠加原理的计算

　　对于不同的边界条件,使用基本解和边界条件,可以得到不同边界条件下的模态函数和频率方程,由叠加原理可得质点_杆系统的响应·

　　2.1　一端固支一端自由杆(图1)

　　对等截面杆及a =-0.9,-0.1,0,0.1,3,b =1和L=1时圆锥形杆,表2给出质量比α分别为0.001和5时系统的无量纲频率·由表2可知,与等截面杆相比,圆锥形杆的前几阶频率主要受杆的倾斜度影响,而高阶频率接近于等截面杆对应的频率值·有趣的是,增加倾斜度可以降低频率值,甚至使一阶模态消失·例如对于α=0.5的情形,只有a >-0.87时才会出现第一阶模态·对同一个杆,无量纲频率值随着质点质量减小而增加,特别是前两阶频率值,但高阶频率值受质量比的影响较小·