关于断裂力学基本问题的一个新解

　　从工程应用和断裂力学角度来说,条状物中的裂纹问题是一个基本问题,也是一个工程应用中常见的问题.因此许多研究工作者采用不同的研究方法对此问题进行过研究,如Irwin[1]采用周期裂纹解来逼近条状物中垂直于边界双边界共线裂纹问题;Sneddon[2]和Gupta[3]利用积分变换方法描述了条状物中一个垂直于边界的裂纹问题.Lowengrub[4,5]分别利用积分变换方法描述了条状物中一个和两个平行于边界的裂纹问题.但是Lowengrub[4,5]中的解仅仅适用于的情况(h是条状物的半厚度,l是裂纹半长),并且Lowengrub的解也不是解析解.多年来由于数学上的原因,对于D<1的情况还没有人对此问题进行过研究,当然可以利用有限元法和边界元法来求解,但它们是纯数值解.

　　本文就是利用Schmidt方法[6,7]对Lowen-grub提出的问题重新作了研究,重要的是这种方法所得的解适用于任意厚度的条状物,并且方法简单,Schmidt方法曾多次被用来求解断裂力学问题[7~9],所得的结果完全满足要求.在本问题的求解过程中,利用富里叶积分变换方法把混合边界问题转换为一个对偶积分方程的求解.在对偶积分方程的求解过程中,把裂纹表面位移利用雅可比多项式和Schmidt方法展开成级数形式,进而可以求出本问题的解.这个求解过程与文献[1~5]中利用的方法完全不同.

　　1 基本公式

　　设有一厚度为2h、长为无限长、内含一长为2l平行于边界的裂纹的条状物,如图1所示.裂纹面上受一幅值为τ₀的均匀应力作用.设x,y,z方向上的位移分别为u, v, w.对于Ñ型平面应变问题位移w可以不考虑;位移u, v仅是变量x, y的函数.相应的应力场可表示为

　　这里其它应力分量在此不考虑,K和L是经典拉梅常数.

　　把式(1~3)代入到弹性力学的控制方程中,可得以位移为变量的控制方程,即

　　2 分 析

　　从文献[4]中可得:对于y≥0的情况,方程(4~5)的解可以表示为如下形式

式中A(s)为未知函数

、

　　从而应力可以表示为

　　由于对称性,仅考虑第一象限的问题就可以了.可以证明只要未知函数A(s)满足如下方程,边界条件(6)~(9)即可完全满足.

　　为了求解式(14)和式(15),位移v可以展开成如下级数形式

式中:an是未知系数,是雅可比多项式;式(17)经富里叶变换[10]后可以成为[11]

式中和Jn(x)分别是伽马和贝塞尔函数,an为未知系数.把式(18)分别代入到式(14)和(15)中可得,经富里叶变换后方程(14)会自动满足,而方程(15)经对变量x在区间积分后可得

式(19)中的半无限积分可以变成[10]