关于平动相对平衡问题的液面不动点

　　为了方便叙述,我们定义平动相对平衡问题变形前后两液面交线上的点为不动点.

　　一般《工程流体力学》教材均采用等加速度运动罐车或其它容器来作为典型例题,以说明平动相对平衡问题的求解方法.其中不少教材既不说明容器的具体形状,也不说明是变形前还是变形后的液面中心,或者简单地给出“液面中心点不变化,,l11的结论后,将坐标原点取在液面中心点;另有一些教材则将坐标原点取在液面上的某一点,从而得出压强分布规律和等压面方程.这就引出了以下两个问题:

　　(1)液面中心点是否一定是不动点?如果不是,则由该点的边界条件所确定的压强分布规律和等压面方程等结论明显是错误的;并且很容易误导学生将不动点与液面中心等同起来.

　　(2)理论上,取变形后液面上的任意一点为坐标原点,并以该点作为边界条件,均可以得出相同的压强分布规律和等压面方程;但实际上该坐标原点的空间位置并没有确定,因此,所得到的结论在原点位置确定之前仍然不能实际应用.

　　本文就此问题提出一点浅见,请同仁指正.

　　1不动点应由等压面及体积相等条件确定

　　由于等加速度运动容器内的液面倾斜度决定于质量力,而液面位置与容器的形状有关,因此,不可压缩液体的不动点应由以下条件确定.

　　1.1液面方程

　　当原点取在不动点o,x轴取为变形前后两液面的交线,y、z轴与其正交,若质量力分量分别用fv和fz表示,则变形前后的液面方程可分别表示为

　　1.2液面变形前后的体积相等条件

　　如图1所示:设等加速度运动容器的曲面方程为z=f(x,y)，其沿:向的外切柱面在xy平面的投影为Φ(x,y)=0;变形前后的液面与容器曲面的交线在xy，平面的投影分别为go(x、y)=0和g1(x,y)= 0;则图中各积分区域为

所围成的、变形前后两液面间的容器壁面在xy，平面的重投影面积区域.一般地说，两液面间沿z向内、外切柱面数越多，重投影区域会越多，如内、外切柱面数为零.则S₄=0.

　　利用式(1)，注意到体积相等条件可表示为:变形前后两液面间与容器壁面所围成的体积，由两液面的交线分割为相等的两部分.则有

式(1)、式(3)或式(3)‘为容器液面上不动点的确定条件.显然式(3)‘中S1+S2就是g0(x、z)=0所围的区域，S₁ +S₃就是9n（x、y）所围的区域·现分析如下:

　　a)当变形前后两液面的投影区域重合、且无重投影时(如两液面间的容器壁面与z轴平行)，则液面中心与不动点重合.

　　当投影重合时，有S₂=S₃=S₄=0，并注意到质量力和斜率k值是与坐标无关的常数，代入式(3)'得