具有圆角的空心圆轴拉伸时的局部应力计算

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　　机械零件的局部应力,产生在结构形状突然变化的地方,如缺口、孔洞、圆角等处.由于它与结构的强度设计密切有关,一直受到工程技术人员的关注[1,2],特别是近年来,随着我国机械制造、航空、化工等产业迅速发展和广泛追求设计合理化,充分考虑局部应力对机械零件的强度影响,并运用到工程设计中去,更显得迫切需要.

　　局部应力问题用一般的弹性理论方法来分析不是常常能够得到满足的结果.因为在外形既定的条件下,具有微分方程组的积分是一则数学难题.近年来随着计算技术的发展和实验方法的更新,对这类问题有的学者采用了有限元数值和光弹性实验[3,4]来求解.本文针对具有圆角的空心圆轴拉伸问题,采用锥形截面假设,计算并分析圆轴圆角处的最大应力与圆角的半径、圆轴的半径和圆角的深度系数的关系,推导弹塑性局部应力的表达式.数值计算结果表明本文的方法简便、有效,适用于工程实际问题.

　　1　局部应力分析

　　如图1所示是具有圆角的空心圆轴承受拉伸,ρ为圆角的半径,r、R分别是圆轴的内、外半径.t为圆角的深度,引入圆角缺口特征参数定义r≤y1为浅缺口,r>y₁为深缺口,y₁=ya-a0cosα,ya=R+ρ(1-cosα).由于圆角的最大应力产生在从圆轴细端直线部分向圆角的圆弧移动5°～20°的A点处[4],过A点作锥形一平面截面ACD,其中AC为锥形截面,垂直于圆角表面,CD为平截面,垂直于圆轴中心线.在A点的附近,引入第二个锥形—平面截面A₁C₁D₁,当圆轴拉伸时,锥形平面截面ACD相对于A₁C₁D₁均匀移到A₂C ₂D₂,则FK纤维上的应力σx

　　将(1)、(2)式代入(3)式,并化简得:

　　将(4)式代入(1)、(2)式得:

　　当r>y₁时,即整个截面都在圆锥形截面内,同理可得应力σ和集中系数K

　　2　弹塑性局部应力

　　随着外加载荷的增加,在轴的圆角A处首先达到最大应力时,开始屈服.设A处截面中弹塑性交界面为ys,考虑材料为理想弹塑性,则由(5)式和(7)式可导出弹塑性应力.

　　2.1　当r≤y1时,分两种情况

　　2.2　当r>y1时,只有一种情况

　　3　计算结果

　　算例的材料为低碳钢,材料常数和几何参数:E=2.0×105MPaRs=240MPa圆角半径ρ= 2mm圆角深度系数t= 8mm圆轴半径ρ= 24mmα= 10°

　　由式(6)和式(8)可得圆角处应力集中系数与Q/R,t/R,r/R的关系如图2 - 4所示.从图中可见,当ρ/R→0时,应力集中系数将出现强奇异性,这很接近于裂纹情况.当ρ/R→1时,应力集中系数K将大大降低.这和实际情况相符.从图中还可以看到,K与r/R成反比,即在同样条件下,空心圆轴的应力集中系数要比实心圆轴的小,这一结论表明采用空心圆轴可以减小应力集中程度,因而在实际工程中很有意义.当圆轴的深度系数t/R< 0.36时,深度的增加将引起应力集中系数的增大,而当t/R> 0.36时,圆角深度对应力集中的变化影响较小.