经典理论与一阶理论之间简支梁特征值的解析关系

　　1　引　言

　　由于在高阶剪切变形梁(板)理论和经典理论之间,梁(板)弯曲、屈曲和振动的控制方程都存在数学上的相似性,这种相似性可以用经典结果来表示相应的高阶理论下的解。有关高阶剪切变形理论和经典理论之间梁或板弯曲解的精确关系方面的研究工作已经有很多报道。Wang和Lee[1]、Wang和Red2dy[2]、Wang等人[3]以及本文作者[4]分别研究了各种理论之间板屈曲和固有振动解的精确解析关系。关于不同梁理论下梁特征值的解析关系,尚无相应的研究结果报道。另外,从文[5]对功能梯度结构的研究结果可知,高于一阶的理论对于研究诸如临界载荷或者固有频率这样的整体响应,在计算精度上提高不大。本文将梁的临界载荷和固有频率这样的特征值问题统一处理,利用经典梁理论(EBT)和一阶剪切变形梁理论(TBT)之间,梁的特征值问题在数学上的相似性,研究不同梁理论之间梁特征值的解析关系。最后将特征值问题的求解转化为求解一个代数方程,导出了不同梁理论之间梁特征值显式表达的精确解析关系。因此,只要已知梁的经典结果(临界载荷和固有频率),不需要经过较复杂的数学运算,便很容易从这些关系中获得一阶梁理论下的相应结果。

　　2　基本方程

　　考虑一个厚度为h、长度为l、横截面积为A的等截面梁。x轴在中面内,并沿轴线方向;z和y分别沿梁的高度和宽度方向。一阶梁理论下的位移场[6]Ux(x,z,t) = z(x,t),　Uz(x,z,t) = w(x,t) (1)式中w表示梁中面上点的挠度,为梁横截面在变形后的转动。根据该位移场,几何方程如下

　　设在梁端部作用有轴向压力p。根据Hamilton原理,可得运动方程

　　3　特征方程

　　式(10)就是问题最终的特征方程。联系相应的边界条件,从中可以得到一阶理论下梁的振动或屈曲问题的特征值和特征向量。

　　4特征值的解析关系

　　设λ1是正根,将式(10)改写为

　　在方程(17)中,令ω=0,即D=0,可以得到一阶理论与经典理论之间梁的临界屈曲载荷的解析关系

　　4·1　只考虑横向振动时的频率关系

　　忽略转动惯性,即横向振动时,经过类似地运算,可以得到经典理论和一阶理论间梁的固有频率关系为

　　4·2　关于这些解析关系的讨论

　　在以上的分析中,已经得到了用相应经典结果表示的,一阶理论下梁的临界屈曲载荷和固有频率。从式(19)知道,经典理论和一阶理论之间矩形截面梁的临界载荷通过下式相联系

　　方程(24)、(25)不仅给出了不同梁理论之间的临界载荷或固有频率的差别,也清楚地显示了横向剪切变形对经典结果影响的本质特点。从中可以看出,经典理论总是高估了特征值的数值。