工程结构模态的连续型随机子空间分解识别方法

　　传统的模态识别方法利用结构的输入和输出信号识别结构的模态参数.对于工作中的大型结构,无论是对其实施外部激励还是测试外部激励都十分困难.而环境振动方法仅仅利用被测试的输出数据识别结构的时间序列分析法模态参数,受到了广泛的关注[1~4].

　　环境振动识别方法主要有时间序列分析法、ERA (eigensystem realization algorithm)法、随机子空间法和ITD (Ibrahim time domain method)法[1].时间序列分析法、ERA法和随机子空间法是基于离散时间模型的识别方法,该方法有成熟的算法和较高的计算效率,但不能直接识别结构的模态参数.ITD法是一种谐波恢复技术,它必须结合随机减量方法才能识别结构的模态,该方法精度差,不具有鲁棒性.

　　通常被研究的大部分物理系统都是连续时间系统,因此,利用离散数据识别连续系统参数重新受到了关注[3~5].利用离散模型识别系统参数来源于信号处理和自动控制领域,研究的重点是单输入和单输出系统.事实上,结构的振动系统是一个多输入多输出的连续系统,能够用多元二阶微分方程组描述.基于连续时间模型识别方法,本文提出了一大型结构动力特性识别方法.本方法利用连续的结构动力学模型,得到方程的解析解,并通过谐波识别技术[6~8]识别结构的模态参数.相比离散模型的随机子空间法,本方法直接识别结构的动力特性,并具有运算效率高和稳定性好等特点.

　　1　动力学理论模型及其解

　　依据结构动力学理论,受平稳随机激励作用的n维结构动力学方程为

　　式中,X为n维位移向量;M,C,K分别为结构的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵;L为载荷分配矩阵;F为随机激励, E[F(t)FH(t + k)] =σ20δ(k)I,I为单位矩阵,δ(k)为Kronecker函数.

　　式(1)的解包含2部分内容,一是由结构自然振动产生的谐波振动,二是由外力产生的随机振动.在使用谐波识别技术之前,必须消除随机振动的影响,而相关运算能够在保持谐波振动的同时消除随机振动的影响.取结构上某一定点的测试信号x0(t),将x0(t-τ)乘式(1)的两侧,并取数学期望得

　　式(3)表明,在时间τ=0时系统受外部冲击作用,并获得动能,在时间τ>0时系统作自由振动.分解A = PΛPH,并代入式(3)得

　　式中,Λ为由A的特征值构成的对角阵;Y~= PY,P为特征向量矩阵.

　　从式(4)解得Y~=eΛτD,其中D为系数向量.又由x = {0,I}P-1Y~得

　　2　子空间分解法和算法

　　以上分析表明,作自由振动的动力系统,其振动信号是由不同频率的谐波组成,而表示谐波及组成的动力参数是频率、阻尼和振型.在小阻尼下,考虑如下模型:

　　式中,m为时间;x(m) = {x1(m),x2(m),…,xn(m)}T为振动信号,n为测试点的个数;p为系统中起作用的模态数;Φk为n维列向量;v(m)为加性白噪声,是信号采集和计算过程产生的噪声,满足v(m)vH(m+k)=σ2Iδ(k),这里σ2为噪声的功率;αk为与阻尼有关的实数,αk=ζkωk,ζk为阻尼比.振动信号与噪声信号是不相关的.