基于有限条模型圆柱壳动态响应及灵敏度分析

　　在结构动力修改和动态优化设计中,常进行动态响应及其灵敏度分析,其目的在于避免结构修改中的盲目性,提高设计效率.它是结构动力修改和动态优化设计的基础[1,2].在通常的结构动态响应及其灵敏度分析研究中,多数致力于分析方法的研究[2～6].然而,计算和分析过程的难易程度、结果的准确度等,在很大的程度上依赖于针对研究对象所建立的结构动力学模型.为此,本研究选择实际工程应用较多的圆柱壳类结构作为对象,根据圆柱壳的结构特性(具有规则几何形状和简单边界条件等),采用有限条法建立其动力学模型,基于该模型进行动态响应及灵敏度分析.有限条法与常规有限元法的主要不同之处在其位移函数的构造上;此外,有限条法划分的单元是条(或棱柱),因此,计算量大为减少,同时,在某种程度上又保持了有限元分析的精确性、适应性和通用性等[7].

　　1　有限条模型和动态响应及其灵敏度分析

　　1.1　圆柱壳有限条模型

　　a.位移函数

　　使用有限条法对圆柱壳进行离散和单元划分,设每个单元(条)两端简支,且每个单元含有两根节线,每根节线含有4个位移参数(u,ν,ω,θ).其中,圆柱壳轴向、周向和径向位移分别为

式中,x-=x/b,x为坐标值,b为条宽度;m为圆周波数;r为圆周半经;α为块壳的夹角.由此,可导出其位移函数

　　b.应变矩阵和弹性矩阵

　　根据应变-位移方程可以导出圆柱壳的应变矩阵[B]m,

　　根据应力-应变方程可以导出圆柱壳的弹性矩阵

　　c.单元刚度矩阵和质量矩阵

　　根据最小势能原理,利用上述的位移函数、应变矩阵和弹性矩阵可以导出圆柱壳的单元刚度矩阵和质量矩阵

其中,ρ为材料密度.

　　单元刚度矩阵和质量矩阵通过叠加得到总刚度矩阵和质量矩阵,若考虑结构系统的阻尼时,便得到圆柱壳的有限条模型一般形式为:

　　1.2　动态响应及其灵敏度计算

　　考虑到圆柱壳受非冲击载荷以及模态的正交特性,在此采用模态叠加法计算圆柱壳动态响应,以达到微分方程解耦目的[8],从而为计算提供便利.在模态叠加法计算圆柱壳动态响应的基础上,同样采用模态叠加法(即双模态叠加法)求解动态响应灵敏度[3,4],其简要计算过程如下.

　　将模型(1)两边对设计变量t求导得:

　　使用模态叠加法,其动态响应灵敏度为

式中,φi为主模态;qi由下式求得(设系统阻尼为比例阻尼)

　　从建立有限条模型的过程中可以看出,M,C和K不仅是圆柱壳的尺寸、材料参数和时间的函数,而且是其圆周波数m的函数;因此,式(3)求得的响应灵敏度应该是对应于单个圆周波数的值.为求取若干个圆周波数对应的综合响应灵敏度,对于受非冲击载荷的圆柱壳而言,考虑到对动态响应及其灵敏度起主导作用的是前几阶模态的特征,并借鉴截尾模态叠加法的思想,即首先按式(4)分别计算单个圆周波数对应的qi值,再根据单个圆周波数对应圆柱壳的固有频率的大小来排序,最后选取前若干个qi值,按式(3)进行叠加计算,从而得到最终的响应灵敏度.这样,可以进一步提高计算效率,这对于计算和分析受非冲击载荷作用的大型复杂系统尤其有利.