拉压不同模量有限元法剪切弹性模量及加速收敛

　　0 引 言

　　由C^.A^.阿姆巴尔楚米扬所创立的/不同模量弹性理论0[1]中,假定当纯拉伸时对所研究材料的弹性系数分别用E+和L+表示,相反当纯压缩时其弹性系数分别用E-和L-表示.在任意状态下,正确地选取E⁺、E^-、L⁺和L^-不仅依赖于所研究材料的弹性性质而且依赖所研究问题的受力状态和边界条件[1].

　　阿姆巴尔楚米扬创立了不同模量弹性理论,但是未曾作过关于复杂应力状态下的不同模量系数的试验研究,对全应力和全应变状态下的不同模量广义弹性定律及其剪切弹性模量亦未作过详细的论述,这对复杂应力状态的研究以及数值分析是不足的,特别是对剪切弹性模量的确定似乎是一个难题.

　　不同模量问题又称双模量问题,它所研究的材料在任意应力状态下只发生弹性小变形并服从连续弹性介质力学的一般规律,其平衡方程、几何关系式和变形连续性方程与相同模量的经典弹性理论的基本方程相同.其根本差别在于物理方程.不同模量问题的数值分析,亦应与经典弹性理论的数值分析取得一致,当，

时,后者的计算结果应是前者的极限[28]。

　　1 应变能及不同模量弹性矩阵

　　1.1 基于主应变的应变能

　　设主应力和主应变向量分别为σI和eI,对应的全应力和全应变为σ和e,其二者的转换矩阵为L_I,转换方程为

　　相应地以主应变表示主应力的弹性矩阵是

　　基于主应变的单位体积应变能显然是

　　若用全应变表示,则

式中:DI为6X6阶方阵,被称为基于主应变的不同模量弹性矩阵,与DI关系式为

　　弹性体的应变能为

　　在此所建立的应变能UI的表达式中未含有剪切弹性模量项,因为它是建立在主应变基础上的.

　　在此所建立的应变能UI的表达式中未含有剪切弹性模量项,因为它是建立在主应变基础上的.

　　1.2 基于全应变的应变能

　　利用主应力σ_A、σ_B、σ_C和等于零的剪应力τ_AB、τ_BC、τ_CA(其向量记为σcI),及其相应的主应变和剪应变(其向量记为ecI),写成6项物理方程,其方程中的弹性方阵为6x6阶方阵,写为

式中:4、5、6三行列分别对应剪应力与剪应变项.对平面应力问题DcI成为3X3阶方阵.

　　基于全应变的单位体积应变能为

　　若用全应变表示,将得到不同模量弹性矩阵和弹性体的应变能为

　　式中:L'I为6X6阶方阵,是主方向与全应变方向夹角余弦矩阵.

　　1.3 比较不同模量弹性矩阵