裂纹梁的弹塑性动态断裂

　　1　模型

　　1976年Freund L B[1]等用线弹簧模型进行了纯弯曲无限长裂纹梁的线弹性动态断裂分析。1977年Adeli H[2]等对同一问题的研究进一步考虑了轴向力的影响。1991年Miyazaki N[3]用线弹簧模型和一维有限元对三点弯曲和四点弯曲梁的线弹性动态断裂进行了研究,解决了有限长裂纹梁动态断裂分析的简化问题。但这一研究有两大不足之处:一是没有彻底摆脱有限元方法,使得计算量太大;二是对弹塑性动态断裂问题没有进行研究。唐国金等[4]用梁的初等弯曲理论和线弹簧模型对三点弯曲梁的线弹性动态断裂进行了研究,随后,唐国金等[5]对裂纹梁的线弹簧模型解法给出了理论解释,并对三点弯曲梁的线弹性静态断裂进行了分析。本文对有限长简支裂纹梁,采用初等弯曲理论和弹塑性线弹簧模型进行了弹塑性动态撕裂分析。

　　如图1.1(a)所示,考虑一个受均布快速载荷p(t)作用的简支梁,梁的正中央有一长度为a的边裂纹。裂纹的存在使局部小区域上梁的刚度削弱,由于该局部小区段相对于梁的长度为甚小,故可认为梁的挠度斜率5w/5x和轴向位移u在裂纹处发生间断。轴向位移间断量$和挠度斜率间断量H与相应轴力N和弯矩M之间的关系可以用一个广义的线弹簧相联系(如图1.2(a)所示),而线弹簧的本构关系用相应的边裂纹板条(如图1.2(b)所示)模拟。梁的动力学方程可以用梁的初等弯曲理论导出,将梁的动力学方程和线弹簧的本构关系联立即可得到问题的控制方程。

　　应该指出的是,惯性力项仅出现在梁的动力学方程中。对于韧性较好的材料,梁的动态断裂将发生在弹塑性条件下,因此动载荷作用下的裂纹梁将经历线弹性变形阶段、弹塑性变形阶段和裂纹撕裂阶段。塑性变形一般局限于梁的裂纹面附近,于是,可以认为梁的动力学方程将保持线弹性,而塑性项仅出现在线弹簧本构关系中。

　　2　梁的动力学方程

　　载荷集度p(t)的表达式为

　　挠度ω与轴向位移u满足动力学方程

其中,E为材料弹性模量,ρ为材料密度。

　　从已知的无裂纹解ω₀(x,t)可导得x=l处的弯矩M0[6]

　　引入无量纲位移q1=Δ/h和q₂=θ,无量纲内力Q₁(t)=N(l,t)/σsh和Q₂(t)=M(l,t)/σsh²(这里σs为材料的屈服限),采用与文献[4,5]相同的方法可推导出梁的全局动力学方程

　　3　线弹簧本构关系

　　3.1　线弹簧本构关系

　　在线弹性情况下,广义线弹簧本构关系为[4,5]

　　在弹塑性情形下,有

　　其中,q^e_i为位移分量的弹性部分,q^pi为位移分量的塑性部分,q^e_i与Q_i的关系由(3.1)式确定。