刚塑性矩形板在冲击载荷作用下的一个新的界限

　　尽管冲击载荷作用下圆板的动力响应分析已有很多研究，但有关矩形板的并不多见，部分原因是矩形板不存在像圆板那样的轴对称性，因此增加了求解的难度。1971年Jones给出了一个矩形板的冲击响应解{‘，并考虑了有限变形的影响;1974年Taya和Mura应用Hamilton原理给出了矩形板永久变形的一个表达式卜z‘;另一方面，随着计算机硬件、数值分析、商用软件的发展，人们注意到应用数值计算的方法来分析这一问题，1985年Yankelevsky基于差分格式给出了一个弹塑性分析[31;1996年刘土光、唐文勇采用ADINA软件给出了一个关于加筋板塑性动力响应的计算川;2004年张涛、刘土光等又针对加筋板的低速冲击问题给出了一种半解析数值方法以分析其弹塑性动力响应图，梅志远等采用DYTRAN软件给出了船用加筋板的冲击响应计算「61，吴桂英等则采用数值分析的方法研究了弹塑性板动力响应的反常行为巨7]，国外Romajeyathilagam等也采用数值分析的方法给出了类似的解答fs1。从工程应用的简洁性来讲，人们更希望能够有一个简明的解析公式，即便不是精确的解答，给出一个板位移的上、下界限来，也是很有应用价值的。本文将从板的非线性平衡方程出发，通过加权残数法给出冲击过程中的能量守恒方程，在此基础上

　　将非光滑的屈服面用其内切和外接光滑曲面来代替，然后应用塑性正交法则，给出板永久塑性变形的上、下界限估计。

　　1 基本控制方程

　　板在考虑有限变形时的动力学方程为

　　式(1)和(2)中，N和M分别为板所受的轴力和弯矩;q表示板单位面积上所受的均布力;h为板的厚度;夕为板的材料密度;、和云分别为板面内的位移和加速度;下标乞，j二1，2表示板的中面坐标，下标3表示板的法向坐标;切，奋和动分别表示板的法向位移(即挠度)，速度和加速度。假定材料为理想刚塑性，其对应的屈服条件为

　　式(3)中M。和N。表示板的极限弯矩和轴力，式(3)实际上是矩形截面梁(或板)在轴力和弯矩作用下屈服条件斧广。假定这里考虑的是中等程度的有限变形，可以认为:q‘=0，视说，二碗;=0(艺=1，2)。于是平衡方程(1)成为N，=0。进一步取汤为权函数，对式(2)进行加权积分，有：

　　式中亡表示板所受冲击荷载的时间;dA表示板的各刚性块体D、内的面积微元;ds表示板的各塑性铰线C、的线微段;再利用分部积分和高斯公式，得

　　式中n了为j方向上的方向余弦。因此，式(5)可以理解为冲击载荷所做的功等于塑性铰线C、的能量耗散以及各刚性块体D、动能之和。假定M。和N。位于屈服面之上，而且由于假定材料为刚塑性体，因此广义应力M。和N。与时间无关，式〔5)可改写为