改进的区间有限元静力控制方程迭代解法

　　0　引　　言

　　当结构的不确定参量可用区间限界时,将区间分析和传统的有限元方法相结合,可建立起区间有限元.近年来,不确定结构的区间分析受到众多学者的关注.Koyluoglu[1]等提出利用三角不等式变换和线性规划,通过优化计算求解区间方程组.邱志平等提出求解区间方程组的区间摄动法[2]、区间参数摄动法[3].Rao[4]等通过区间方程组中所有区间元素上、下边界的组合,研究了区间方程组的直接组合解法.郭书祥等人提出了一种具有较高计算效率的迭代解法[5],并用于求解线弹性结构控制方程的参量边界组合解法[6].区间分析用于结构设计和分析已开展一定程度的应用性研究[7,8],区间分析的其他应用性研究[9,10]也已受到重视.对于区间有限元控制方程组的求解,现有解法常不考虑结构刚度矩阵元素间及载荷向量元素间的相关性,得到的解的范围比原问题真解的范围偏离较大.基于此,文中结合不确定结构有限元分析的力学背景,直接从问题的基本参量不确定性出发,提出了一种改进的区间有限元静力控制方程迭代解法.算例分析表明,改进的方法是实用可行的.

　　1　改进的区间有限元静力控制方程

　　迭代解法

　　1.1　区间有限元

　　在结构静力分析中,由于结构参数存在误差或不确定性,特别是荷载的误差或不确定性,使得确定结构响应所在的范围或界限具有重要的理论和工程意义.概率理论在此领域发挥了非常重要的作用,随机有限元方法得到了成功的应用.但当结构的不确定性不具有统计特性,或缺乏足够的数据信息描述不确定参量的概率特性时,概率模型的应用可能导致出现较大的误差.因此,非概率模型的研究受到人们的日益关注.不确定结构参数可用区间限界时,区间分析可用于处理结构的不确定性.从基本参量的不确定性出发,将区间分析和传统的有限元方法相结合,可建立起区间有限元.

　　设α=(ai)m=(a1,a2,…am)T是任意具有误差或不确定性的结构参数组成的向量.其相应的均值为αc=(aci)m=(ac1,ac2,...,acm)T,且已知其界限绝对离差为Δα= (Δai)m= (Δa1,Δa2,…,Δam)T,其所在范围可确定为

　　式中:α=αc-Δα,α=αc+Δα分别为区间参数向量的下界和上界,αΙ= [α,α]为一闭区间.在文中,对区间αI有时可用分解表达式

　　式中:αc= (α+α)/2,Δα= (α-α)/2,ΔαI=[-Δα,Δα].并称有界不确定参数向量α为区间参数向量.在约束α≤α≤α条件下,对结构静力位移的有限元控制方程K(α)U=F(α),利用区间向量[6]的表示方法,可得到区间有限元控制方程

　　式中:K(αI) = {K:K=K(α),α≤α≤α},F(αI) ={F:F=F(α),α≤α≤α},U为满足所有可能组合的矩阵对〈K(α),F(α)〉所决定的结构位移向量集合,其上界、下界组成的区间UI=[U,U] = (uIi)n.式中:U= min{U:K(α)U=F(α),α≤α≤α};U=max{U:K(α)U=F(α),α≤α≤α}.