功能梯度圆板的轴对称非线性分析大挠度问题

　　关于各向同性以及复合材料板壳结构的非线性弯曲问题已经有大量文献报道,但是对于功能梯度板壳结构非线性弯曲问题的研究却较少见于报道.Praveen和Reddy[1]利用有限元法研究了功能梯度板的动、静态响应,并考虑了剪切、惯性项以及VonKarman意义上的中等大转动的影响.文献[2]对功能梯度板和圆柱壳的动态热弹性响应进行了研究,并利用与三维热传导方程相耦合的一阶板理论,推导了问题的热弹性边值问题. Reddy等人[3]用Mindlin板理论研究了功能梯度圆(环)板的轴对称弯曲,在该文献中,功能梯度板的弯曲解是用相应的各向同性板的经典理论解表示的.随后,Reddy[4]据高阶板理论给出了功能梯度厚板的有限元公式,并分析了突加均布载荷下板的非线性动态响应.文献[5]基于经典板理论,推导了在横向载荷和温度场作用下功能梯度矩形板和浅壳大挠度Fourier级数形式的解析解.

　　本文在经典板理论框架下,分析了机械载荷、温度场以及热机联合载荷等不同载荷条件下,功能梯度圆板的轴对称非线性弯曲问题.假设材料性质只沿板厚度方向变化.给出了板的控制方程,并用打靶法[6,7]进行了数值求解.最后讨论了梯度材料性质、载荷条件以及边界条件对板弯曲行为的影响.

　　1　基本方程

　　考虑一个厚度为h,半径为b的功能梯度圆板.设功能梯度材料性质P,诸如弹性模量E、热膨胀系数α、热传导系数K等是如下材料成分体积分数的函数[2,3]:

　　式中:下标m和c分别表示金属和陶瓷成分;z为沿板厚度方向的坐标; Vm表示金属相的体积分数;n是幂指数,它取不同的值代表成分体积分数不一的功能梯度材料.

　　按照经典理论,圆板在横向载荷q及热载荷T(z)作用下的力形式平衡方程为

　　假设泊松比ν为常数,刚度系数如下

　　且T(h/2)=T1和T(-h/2)=T2.

　　上述方程中,E(z)、α(z)以及K(z)均按式(1)变化.

　　引入以下无量纲量:

　　2　数值结果及讨论

　　首先,利用所得到的小挠度结果来验证本文方法的可靠性.所用的材料参数均取自文献[3].表1的比较结果显示,两者吻合良好.

　　在以下的分析中,考虑一种其组份材料是铝和氧化锆的功能梯度材料.组份材料性质如下[1,4]:

=15

　　图1和图2分别给出了金属相的体积分数以及温度分布沿板厚度随n的变化情况.可见,梯度板内的温度总是低于均匀板(即n=0时).

　　图3和图4分别表示不同n值情况下,夹紧和简支板中心挠度随外载荷Q的变化曲线.从图中可以看出,材料性质介于金属和陶瓷之间的梯度板,其挠度值也介于这两者之间.图5和图6是热机载荷联合作用下的挠度-载荷曲线.显然,当有热载荷参与的情况下,前述的结论不成立.另外还可以看到,外载荷值越大,n对挠度的影响也越明显.图7表示热载荷单独作用于简支板时,中心挠度随热载荷λ的变化曲线.在这种情况下,梯度参数n对挠度的影响变得很复杂.图7说明,当外加温度场单独作用于简支板时,从加温开始便会产生弯曲挠度,而在夹紧条件下,直到屈曲后才有横向挠度产生[8].因此,边界条件对功能梯度板的热行为有着重要影响.梯度参数n对板中心最大挠度的影响情况示于图8.当n值较小时,这种影响很剧烈;而当n值很大时,影响趋缓.