复合载荷作用下闭式气浮导轨的有限元计算法

　　0　引　　言

　　气浮导轨作为高精度的运动部件,在三座标测量机〔1〕,圆柱度仪等精密仪器上有着广泛的用途〔2〕。随着仪器小型化、轻量化的要求,要求气浮导轨也必须小型、轻量,因而必须提高其设计计算精度减小设计裕度。由于气浮导轨是在拖动力、自重、外载、配重力及加速度产生的动态外力等诸多因素下工作的,因此几乎所有导轨都是在正压力及倾覆力矩的复合载荷下工作的,所以研究复合载荷下的气浮导轨的计算方法具有着普遍意义。

　　1　复合载荷下节点压力方程的建立

　　在复合载荷作用下的气浮导轨,导轨的滑套将同时产生平移和转角,要用有限元法进行导轨设计〔3〕,首先必须建立起在导轨产生了转角情况下的有限元节点压力的线性方程。为此以导轨的轴线方向作z轴,以宽度方向作x轴,由于导轨止推板的结构具有对称性,取止推板的一半作求解域如图1。以三角形作单元体如图2。以线性函数为插值函数。

　　f为压力的平方　　x、z为节点坐标

　　这样就可求得含有节点i的各单元体叠加后的有限元节点压力平方(简称压方)的方程

　　只要将geⅠ及geⅡ代入方程(1)就求得了节点压方组成的线性方程。其方程的个数取决于未知压力节点的个数。因此由节点压方组成的线性方程组恰可解〔4〕,于是各节点的压力就可求得了。

　　2　单个止推板的受力分析

　　知道了各节点的压方,单元内各点的压力即可得到

　　作如上简化将引进误差,下面再推导出这种简化可能引入的误差的事先估计和事后校验公式。

　　由于有限元法中单元体的个数一般都较多,单元体都较小,所以不妨设单元体内压力是坐标的线性函数。

　　对于情况Ⅰ,即使fm=0,则单元体上等效合力的作用点与三角形重心在z轴方向上的距离也小于Δz/3。若fi=fj=0,则这个距离也不超过Δz/3。

　　对于情况Ⅱ,同样的分析也可得出这样的结论。这个距离也就是力臂误差,因此如上简化所可能引入的误差极限是

　　只要将图1所示的网格划分的节点行数代入(6)式,就可估计出采用(4)式计算力矩时所可能引入的相对误差。在计算出各节点的具体压力后再利用(4)式和(5)式求出其相对误差的极限作为事后校验。

　　3　气浮导轨承受复合载荷的能力及角刚度的计算

　　如图4,导轨在正压力和倾覆力矩同时作用下,其滑套将既产生平移又产生转角〔5〕。对止推板1,其所受的气体浮力

　　设止推板1的平均间隙为h1,其两端的间隙差为Δh,止推板2的平均间隙为h2,且h2>h1,则必然有F1>F2。