基于建模误差位置识别的有限元模型修正方法

　　引　言

　　有限元模型修正法可分为矩阵型法[1,2]和设计参数型法[3,4]。矩阵型法直接对有限元模型的质量、刚度矩阵进行修正,其缺点是修正后的系统矩阵没有明确的物理意义,由此还破坏了原系统矩阵的对称、带状特征,给后续计算带来巨大的困难;其优点是计算简单,可用于修改量较大的情况,另外对处理如单元网格划分、边界条件的错误等,以及用于发现某些建模错误也有其可取之处。设计参数型法则对结构的设计参数,如材料的弹性模量,质量密度,截面积,弯曲、扭转惯量等参数进行修正,其优点是能保持原模型系统矩阵的对称带状特征,修正结果具有明确的物理意义,便于实际结构分析计算,并与其它结构优化设计过程兼容,因而实用性较强,目前已成为有限元模型修正的主流[5,6],其主要缺点是计算复杂。本文采取先用矩阵型方法寻找误差元素(子结构)位置,然后用设计参数型法加以精确修正。算例表明修正结果物理意义明确,精度较好。

　　1　误差位置的确定

　　设初始有限元模型的质量、刚度矩阵分别为Ma,Ka,修正后的质量、刚度矩阵为M,K。

　　它们都是n阶方阵,且有下列关系式

其中　ΔM,ΔK及Mi,Ki分别为系统质量矩阵与刚度矩阵的误差及各单元在总体坐标系中的质量矩阵和刚度矩阵;ei,di分别为单元质量矩阵和刚度矩阵的误差系数。初始有限元模型(Ma,Ka)的前m阶固有频率和振型应满足下式

　　(13)式、(14)式的计算相当简单,由于Λa,Λt为对角矩阵,其逆矩阵仍为对角矩阵,对角元素为Λa,Λt相应对角元素的倒数;振型矩阵不需要作求逆运算。因此尽管Φa,Φt为长矩阵,对上式的求解也不会带来什么麻烦。为了保持与原动力学模型Ma,Ka的对称、带状稀疏特征一致,将ΔK,ΔM作如下处理[2]

　　式中　符号⊙为两同阶矩阵的哈氏积(Hadamard)。

　　(·)a表示矩阵[D]A,即Ma或Ka的元。由于试验得到的模态阶数有限;(7),(8)式展开时忽略了高阶项的影响,修正后模型的物理意义不明确。另外,试验模态参数总存在试验误差,特别是振型的随机误差对识别与修正结果影响很大[1,2]。为了改善确定误差区域位置的准确度,这里定义一个误差百分比。

　　2　有限元模型修正

　　由式(17),(18),参照模态试验的测点坐标,可以初步确定有限元建模误差的位置。对于Kier,Mier较小处的单元,其误差系数应接近于零,相应的局部参数不变。对于Kier和/或Mier较大处的单元,则将需要利用结构实测的模态参数加以修正。假定有p个单元的质量矩阵和q个单元的刚度矩阵需要修正,p,q