轴压下圆柱形薄壁构件的稳定性研究

　　许多结构要求其自重尽可能地小,同时又希望其承载能力尽可能地大。这类轻型结构不可避免地要采用细杆、薄板和薄壳这一类构件,而影响这一类构件承载能力的关键往往是构件的稳定性[1]。计算机技术的不断进步与成熟也推动了稳定性问题研究的新发展,尤其是通用有限元程序ANSYS对稳定性分析的研究做了重要贡献。但由于稳定性分析的理论值与实验值一直都有很大的误差,导致ANSYS定义单元类型时也存在许多的奇异性。所以在稳定性的研究过程中也有必要综合考虑由于计算机软件所带来的影响,即对稳定性分析研究的目光也将转移到计算机软件的应用上,通过有效的软件分析建立实际工程有用的计算公式。

　　1　圆柱形薄壁构件稳定性的力学分析

　　考虑一圆柱形壳沿轴向均匀受压[2],当载荷到达某一值时可能发生对柱轴线对称的屈曲。作用在壳边每单位长度内的压力的临界载荷值Pcr可由能量法得到。只要壳保持为圆筒状,总的应变能为轴向压缩能。但当屈曲开始时,除轴向压缩外还必须考虑中面在周向的应变及壳的弯曲。因此,壳的应变能增大了;当载荷达到临界值时,应变能的增加必等于圆筒由于屈曲而缩短时载荷所做的功。

　　设屈曲时径向位移的表达式为

　　式(1)中:l为圆柱的长度,m为轴向半波数。屈曲以后轴向与周向的应变ε1和ε2可由以下条件得到,即在屈曲时轴向压力保持不变。

　　易知屈曲前的轴向应变为:

　　式(2)中:h为壳的厚度。

　　于是得到

　　在轴平面内曲率的改变为

　　由轴对称屈曲变形的对称性可知

　　将表达式(4)、(5)、(6)、(7)代入应变能方程[3],得到在屈曲时应变能增加的表达式:ΔU=-2πhEμε0∫l0Asinmπxldx+πA2Ehl2a+A2π4m42l4πalD。压缩时,压缩力所做的功表现为轴向应变的改变ε1-ε0与径向位移引起的母线的弯曲之和,即ΔT=2πPcrμ∫l0Asinmπxldx+a4A2m2π2l,又知ΔU=ΔT ,则:

　　应用公式:m2π2hl2+El2a2Dm2π2 2Ea2hD,所以σcr的最小值为

　　再考虑D=Eh312(1-μ2)代入式(8),得到σcr=Eh2π2m212(1-μ2)l2+El2a2π2。对于粗而短的圆柱壳,必须假设m=1,代入上式,得

　　圆柱壳在均匀轴向压力下的非轴对称屈曲与轴对称屈曲的临界载荷表达式相同[2]。

　　以上分析得到的(9)、(10)二式分别适用于中等长度圆柱壳和粗短圆柱壳,对于很长的圆柱壳其失稳根本不涉及表面变形,它的失稳如同压杆一样[4],此时临界载荷可按压杆的欧拉公式计算,即

　　综上所述,考虑长度时,轴向受压圆柱壳失稳临界应力为