两对边自由另两边自由与固定混合支承矩形板的弯曲

1　引言

在建筑工程和其它工程领域中,许多问题均可归结为弹性薄板的弯曲问题,因此研究板 弯问题具有重要的理论和实际意义。作为板弯曲问题的一种解析解法,三角级数加多项式的 方法已得到了广泛的应用。这种解法灵活性大,通常对于同一问题可给出几种不同形式的挠 度解函数,但由它们求得的结果均很接近。而且对于同一边界条件、不同荷载情况也无需重 新进行繁琐的迭加过程。然而,以往用其求解具有混合边界条件矩形薄板的例子并不多。本 文则应用这一方法求出了两对边自由另两边自由与固定混合支承矩形薄板在静水压力作用 下的弯曲问题的解析解。

2　基本控制微分方程与边界条件

如图1所示,设矩形薄板边长为a×b,b1,b2分别为混合边界上固定段和自由段的长度。 坐标系Oxy1,Oxy2将矩形板分隔成两部分Ⅰ、Ⅱ。受静水压力q(x,y1)作用,此时其只分布 在Ⅰ部分。由于本问题特点,可设Ⅰ、Ⅱ部挠度函数分别为w1(x,y1),w2(x,y2),则它们点 各自满足的基本控制微分方程为

3　挠度函数w1(x,y1),w2(x,y2)的选取

Ⅰ部分:

其中w01(x,y1)是方程(1)对应的齐次方程的通解,w*1(x,y1)是方程(1)的一个特解。当板面作用静水压力,且考虑问题的对称性,分别取为

4　求解方程的统一建立

将式(17)、(18)和(19)给出的w01(x,y1)、w*1(x,y1)以及w2(x,y2)代入相应的边界条件,得到各待定系数间所满足的基本方程,从而最终使问题得解。

(1)     由边界条件(4),考虑在区间[0,b1]上y1的任意性得

以上诸式(20)～(28),直接给出了某些待定系数之间的关系。这说明与其对应的边界条件无论级数项次取多少时都是精确满足的。

(2)     由边界条件(8),考虑在区间[0,b2]上y2的任意性得

(3)     由边界条件(6)、(10),考虑在区间上x的任意性分别得

(4)由连接条件(13)、(15),考虑在区间上x的任意性分别得

(5)由边界条件(3),并将αy1shαy1,chαy1,chα(b1-y1),α(b1-y1)shα(b1-y1),y1,y21,y41,y51在区间[0,b1]上展成余弦级数,并且代入式(20)、(22)、(27)和(28)最后得