离心叶轮回转S1流面流动数值计算方法探讨

　　0　引言

　　目前,分析回转S1流面流动的数值计算方法主要有:边界元法、有限差分法、有限元法、流线曲率法、有限分析法等.在用有限差分法分析离心叶轮回转S1流面流动时,一般选用在物理域内直接进行求解[1~4].而离心泵叶片的几何边界比较复杂,若直接采用有限差分法进行求解,往往需要用插值方法来处理边界条件,计算比较烦琐;并且边界条件处理不当会引起计算精度降低,计算结果失真,严重时甚至会导致程序发散.而当采用贴体坐标时,由于曲线坐标系的坐标轴与叶片的边界走向一致,在处理边界条件时,可以直接利用边界条件,而不必采用插值的方法,简化了计算,提高了精度.因此,本文采用贴体坐标下的有限差分法来分析离心泵叶轮回转S1流面流动,以丰富流动数值计算方法.

　　1　回转S1流面的基本方程

　　假设流体为不可压理想流体,流动是定常的,S1流面为回转面.

　　在相对坐标系下,回转S1流面的流动连续方程为

　　流动控制方程为

　　式中α为子午流线m与轴线z的夹角,ω为叶轮旋转角速度,Wm为轴面相对速度,Wθ为圆周相对速度,I为相对能量,I =Pρ+W22-ω2r22,P为静压力,ρ为流体密度.

　　由(1)式定义流函数

　　将(3)式代入(2)式,并认为流体厚度b仅是轴面流线m的函数,整理得

　　此即m-θ坐标系下的流函数方程.

　　2　贴体坐标下的流动方程

　　令(4)式中δ=1rsinα-1bbm,引入贴体坐标

　　物理域和计算域的坐标分别为(m,θ)和(ξ,η).

　　对于函数m = m(ξ,η),θ=θ(ξ,η),其反函数ξ=ξ(m,θ),η=η(m,θ)的导数为

　　其中J为Jacobi因子,定义为

　　则

　　根据上述微分关系式,(3)式在贴体坐标系下变为

　　在计算域内,采用链导法,由(5)式可得BFC下的流函数方程

　　式中

　　虽然计算域内的流函数方程(6)比物理域内的流函数方程(4)复杂,但计算域网格为规则的正方形,计算得以简化,同时程序的通用性强.

　　3　数值计算方法

　　3.1　差分格式

　　令(6)式中等号的右边为F,用二阶中心差分法在节点(i,j)处离散此式并整理得

　　对于(N×M)网格,利用上式就可得到求解方程组,即

　　式中　

　　3.2　边界条件

　　回转S1流面的物理区域如图1所示,其边界条件除满足叶片表面为流线,进出口条件外,还应满足库塔条件,以此确定叶片出口环量.在计算时,为了满足一定的精度要求,计算区域沿进口和出口边分别向外适当地延伸.