面内荷载作用下混合型边界约束复合材料层合板的振动特性

1　引言

混合型边界约束的板(如图1)是工程中常见的一种结构形式。目前,混合边界各向同性 板的振动问题已有不少研究成果,如[1]～[3]。此外,Liew等[4]、[5]运用正交多项式和子 域法分别研究了混合边界各向异性板及对称层合板的振动问题。Liew与Kitipornchai[6]分 析了受中面荷载作用的各向同性板的自由振动;Xiang与Kitipornchai[7]用Navier解进一 步讨论了Pasternak地基上正交各向异性板在面内荷载作用下的振动特性,但二者均限于 简单约束情形。而关于混合边界层合板在面内荷载作用下的振动分析尚未有文献发表。

作为一种有效的数值方法,DQ法在结构分析中得到了广泛的应用。为提高其计算精度 与计算效率,Bert和Malik[8]曾建议了一种半解析DQ格式,但无法运用于混合边界问题。 本文将给出一种新的半解析DQ格式,结合伽辽金法和子域分解技术成功地分析了考虑中 面荷载作用效应时一对边为混合边界约束的层合板的横向振动特性。计算实践表明本文方 法有良好的收敛性与计算精度。

 2　无量纲形式基本方程

一反对称角铺设或对称正交铺设矩形层合板宽b、厚h,在Y= 0,b处为混合边界约束, 中面内受到载荷σ-X、σ-Y作用,且面内可移。若混合边界上有n个对边约束均单一连续、长度分别为ai(i= 1,…,n)的子段,则板长。将各子段作为一个子域,以W-i(x,y)、F-i(x, y)分别表示子域ei的挠度函数和应力函数,使用无量纲参数

为层合板折减刚度,Ω、ρ分别为板的自振频率与材料密度;转动约束刚度Kiθy(Kiθx)取0、∞或某一其它常数时分别表示y= 0,1(x= 0,1)处边界为简支(S)、固支(C)或弹性转动约束(E)。横向振动时子域ei的无量纲控制微分方程为

式中sx=σx/σcr,sy=σy/σcr,σcr为层合板临界屈曲荷载。若板面内受压,考虑中面压力不超过临界屈曲荷载的情形,故0≤ sx(sy) ≤1。

3　半解析DQ法

将Wi,Fi取为截断项数为M的有限级数

将式(7)、(8)、(9)代入方程(1)、(2),可得到2MN个以Wimk(y),Fimk(y)为未知函数的线性常微分方程。取如下特征函数作为挠度与应力在y方向的基函数

待定常数Aim,Bim,αim,ξim,μim由y方向边界条件(3a-d)定出。将式(10)、(11)代入上述常微分方程后,实施Galerkin积分,可得到子域ei的特征方程

式中[Gi]、[Ri]均为常系数矩阵,未知系数列阵{δi}由aimk,bimk组成。考虑子域ei与ei+1(i=1,…,N- 1)在相邻结线处的位移连续光滑条件

求解该方程前,需运用方程置换的方法将x方向的边界约束条件(4)、(5)引入式(15)。

4　数值算例

考虑一面内双向受压(sx=sy= 0.5)和双向受拉(sx=sy=- 0.5)周边简支各向同性方板(b/t=1000)的横向振动。为考察本文方法的有效性,取不同的N、M计算了前2阶自振频率参数ω*=(ρhΩ2a4/D*11π4)1/2,并在表1中与文[6]、文[7]解进行对比。可以看出,本文方法的收敛性与精度均较好。

表2与表3中层合板的材料常数为:E11= 138GPa,E22= 8.96GPa,G12= 7.1GPa,ν=0.3。对于图1a所示对边简支另对边混合约束的(θ/-θ/θ/-θ/θ)层合方板,计算时将板分为2个子域,取N×M= 11×5。表2给出了不同的纤维铺设角(θ= 0°,45°,90°)和固支段长度比η=a2/a(= 0,1/3,2/3,1)时板的前4阶自振频率参数ω,文[5]结果列于括号内以供比较。结果显示二者吻合得很好。