基于物理的变形曲线在结构形状优化中的应用

　　1　引　言

　　在求解结构形状优化问题时,由于要考虑到应力、变形等结构响应的约束,一般要反复进行结构分析和敏度分析,其计算过程是非常耗时的,其中设计变量的选择对优化的成败至关重要[1-4]。一般而言,一个好的参数化方法应提供足够的设计空间,能抑制计算过程中不能获得可靠分析结果的形状发生。同时,优化变量应该尽可能少,还应保证优化后设计边界比较光顺,得到的是一个全局最优的设计。

　　对结构形状优化中自由边界设计问题,现在一般用B样条或NURBS表达设计边界,其控制多边形顶点坐标作为设计参数。为了减少设计参数,在优化计算中,一般是将控制顶点的变动约束在一个固定的方向上[4-5],但是,如果控制顶点变动方向或移动限指定不当,将会约束设计空间。另外,在结构形状优化过程中,样条曲线控制点的改变并非交互进行,而是由数学规划算法确定的,它受到结构分析方法的制约,因此,在非交互环境下如何保证优化设计边界的光顺是结构形状优化中的一个重要问题[4]。基于物理的造型技术在控制曲线光顺方面有独特的优点[6-7],但对这种方法的研究现在多集中在几何造型方面。考虑结构的应力、变形等物理约束,将基于物理的造型方法的原理应用于结构形状优化中的几何表达是值得研究的课题[8-11]。本文将基于物理造型方法中以变形能约束曲线形状变化的原理用于结构形状优化设计,其目的一方面是研究CAGD与结构形状优化设计的集成方法,另一方面是探讨结构形状优化中有效定义优化变量、保证设计边界的光顺的方法。由于结构形状优化问题的复杂性,这里只对平面问题进行讨论。

　　2　曲线的能量模型

　　简而言之,基于物理的造型方法是在满足各种约束条件下,寻找具有最小变形能的曲线、曲面。根据研究问题的不同,有多种不同的曲线能量模型,其中Terzopoulos等的能量模型[6-7]是较常用的一种,但该模型是各向同性的。但实际应用中,在坐标X,Y,Z和权因子W方向,曲线可以有不同的变形性质要求,例如,NURBS曲线的权因子通常要求是非负的,但X,Y和Z方向上就没有这种要求。这里,将Terzopoulos的各向同性模型推广到各向异性的情况,即定义曲线的能量模型为

　　式中C(u)为参数表达曲线的坐标向量,[Dα]和[Dβ]为材料特性参数矩阵。本文为简单起见,均取为对角矩阵,[Dα]和[Dβ]的对角元素分别为αx,αy,αz,αw和βx,βy,βz,βw,它们分别是在X,Y,Z和W方向的材料特性参数。在一定载荷的作用下,如要使曲线在某一方向上变形较小,可以通过在这一方向上使材料参数取较大值来实现。

　　在齐次坐标下,NURBS曲线可表示为