加权残值法计算薄板的临界压力

　　在工程实际中,弹性薄板的应用很广泛。薄板在受面内压力作用时,会发生屈曲变形而失去稳定性,因而确定薄板失稳时的临界压力,在薄板的设计与应用中至关重要。弹性薄板的临界压力在多数情况下不能得到精确的解析解。已经得到的一些薄板临界压力的解析解,其求解过程复杂,在工程中应用不大方便。利用数值计算方法计算弹性薄板失稳时的临界压力,在保证一定精确度的条件下,求出简单而便于应用的数值解,这在板的工程设计中很有必要。作者利用加权残值法和康脱洛维奇变分原理得到了弹性薄板临界压力的数值解,这种解法在工程实际中有一定应用价值。

　　1　基本原理

　　1. 1　康脱洛维奇变分原理

　　文献[1]中利用康脱洛维奇变分原理计算了矩形截面杆扭转剪应力,这种原理可以方便地用于各种多变量函数的泛函变分问题。对于满足一定边界条件的多变量函数的泛函

　　选用满足边界条件的函数系列φk(x1,x2,…, xn-1),k =1,2,Λ,m把变分问题式(1)的近似解写成

　　式(2)中Ak(xn),k =1,2,…,m为xn的待定函数。将式(2)代入式(1),可以得到一个新的依赖于自变量xn的泛函

　　由泛函取得极值的条件δ糐 =0,可以得到一组关于Ak(xn)的欧拉微分方程组

　　求解欧拉微分方程组,并满足所给边界条件,即可得到待定函数A1(xn),A2(xn),…,Am(xn),再代入式(2)便得原变分问题的近似解。

　　1.2　微分方程的伽辽金解法

　　在数值计算中,可以采用加权残值法中的伽辽金解法[2]来求解欧拉微分方程组(4)。

　　对于微分方程边值问题

　　用如下线性形式的试函数

　　作为近似解。c1, c2,Λ, cn为待定参数,φo的选取应满足问题的全部边界条件,φ1,φ2,…,φn是选定的一组线性无关的函数,称为基函数,它们应满足对应的齐次边界条件,即在5v上B(φi) =0, i =1,2,…,n。

　　将式(6)代入式(5),即得到残值方程

　　伽辽金方法取基函数φi(x)作为权函数,使残值式(7)的加权平均值为零

　　式(8)为关于待定参数c1, c2,Λ, cn的代数方程组,求解后可确定这些待定参数,得到微分方程边值问题式(5)的近似解。对于偏微分方程,待定参数ci可选为某一自变量的待定函数。

　　在计算薄板临界压力时,作者采用一级近似计算,泛函变分问题的近似解,即式(2)中只取一项来进行计算

　　式(9)中A1与φ1选用满足弹性薄板边界条件的基函数,笔者采用三角函数或用第二类切比雪夫多项式表示的梁函数作为基函数。将康脱洛维奇变分原理用于弹性薄板的能量泛函时,可以使二维问题变为一维问题,同时由于切比雪夫多项式的正交性,使计算过程简化了很多。所得解答中有一部分是通过欧拉方程求得的严格解,因此即使采用一级近似计算,也可以保证一定的精确度。