考虑集中力作用的连续体虚功原理和平衡方程

　　在连续体虚功原理的讨论中,为了能够导出相应的平衡方程和应力边界条件,其中的外力虚功只涉及到连续的体力和面力两部分.但是,在根据虚功原理推导有限元格式时,不论是单元分析还是整体分析,虚功方程中不可避免地要包含节点集中力的外力虚功,实际上已经接受了考虑集中力作用的虚功原理.另外,在有限元的教科书中^[1~3],对非节点集中力是按静力等效的原则进行前处理,即变成等效节点集中力,而没有直接引入进行单元分析的虚功方程.从这一点来看,似乎又没有完全接受包含集中力的虚功原理.本文通过讨论包含集中力的虚功方程与平衡方程及应力边界条件的等价性问题,澄清有关的问题.

　　1　包含集中力的虚功原理

　　虚功原理的表述为:变形连续体在外力作用下处于平衡状态的必要充分条件为,对任意几何容许的微小的虚位移外力所作的总虚功等于变形体的总虚应变能.设变形体所受的外力系除了面力p和体力p外,还包含边界面上某点的集中力FΓ和体内某点的集中力FV,如图1所示.在小变形情况下虚功方程为

　　显然式(1)并不等价于通常形式的平衡方程和应力边界条件

　　2　包含集中力的平衡方程和边界条件

　　如果在式(1)的右端没有后两项(由集中力引起的外虚功),那么,把该式中的边界面积分通过Gauss公式化为体积分,并考虑式(2)和式(3)以及区域选择的任意性,就可以导出平衡方程和边界条件(4)和(5).在考虑集中力引起的外虚功的情况下,可借助广义函数把式(1)右端后两项(集中力引起的外虚功)分别写成如下的形式^[4]

　　上式与不含集中力的虚功方程具有相同的形式,因此其等价的平衡方程和边界条件也应当和式(4)、式(5)的形式相同

　　但其中的包含了通过广义函数表达成连续形式的集中力.式(13)和式(14)即为考虚集中力时等价于虚功方程的广义平衡方程和广义应力边界条件.

　　3　由虚功原理建立单元刚度方程式

　　假设除了体力和节点力F_i之外,在单元V_e上点M (x₀, y₀)还作用一集中力F^M_i,则单元的虚功方程为

　　代入式(15)可导出单元刚度方程

　　4　结　论

　　(1)虚功原理包含了更广泛意义的平衡.仅有面力和体力作用时,虚功方程等价于平衡方程和应力边界条件;当有集中力作用时,连续体虚功方程不等价于通常的平衡方程和边界条件,而等价于式(13)和式(14)表达的广义形式.

　　(2)在有限元计算中进行网格划分时,集中力作用点可以是非节点.非节点集中力的等效节点力可以从单元的虚功方程中自然得到,没有必要进行前处理.