薄壁构件弯曲时横截面的变形

　　0 前言

　　现有弯曲理论一般对纯弯曲都按单向应力状态处理，主要分析了和纵向应变相关的变形.虽然构件横截面也有变形产生，但因其影响甚微，未有更多讨论.这对于非薄壁构件诚然是合理的.然而推广及至横截面构形上大有区别的薄壁构件是否也同样合理呢?事实上，工程中薄壁构件在横向无任何附加约束的情况下弯曲变形时，其横截面的尺寸在沿着中性轴的方向上有所增大，而在垂直于中性轴的方向上又有所减小，总的来看构件变扁了.例如，薄壁圆管横截面将变为近椭圆状;薄壁方管横截面将变为上下凹人，左右凹出的鼓状.这一现象对薄壁构件(包括开口的)可说是均无例外.值得特别提出的一个例子是纵横向异性的竹杆(可视为薄壁件)在弯曲变形达到一定程度时，会沿着两个纵向面产生劈裂:一是沿中性层由外壁开劈;一是沿纵向对称面由内壁开劈.如所周知，纯弯曲时，构件纵向纤维之间除了大可忽略不计的挤压力外别无其他，无从对上述竹杆劈裂给予解释.然而联系到薄壁构件弯曲时横截面的变形，就不难给出合理的解释.综上所述，与非薄壁构件不同，薄壁构件弯曲时横截面的变形有其特殊性，对其作出合理的分析是必要的.本文谨以圆型薄壁构件弯曲时横截面的变形为例，给出一种浅近的分析.

　　1分析的模型

　　设圆型薄壁构件，壁厚为t，截面中线半径为R，产生弯曲变形时弯矩为M，中性层曲率半径为刀.并以构件轴线方向为x轴，截面上中性轴为z轴，与z轴垂直的对称轴为y轴.构件变形沿轴线各处是均匀一致的，可取任一微段△x来进行考察.由于所要研究的横截面的变形是伴随弯曲变形产生的，故所取微段应是弯曲变形后的微段.这种变通处理更符合实际，也更接近问题的实质，因而是必要的.所取微段附如图(a)所示，其两端面相对转角为中性层上微弧段。该微段两端面上作用的沿截面高度(y向)线性分布的弯曲正应力中性层上微弧段2该微段两端面上作用的沿截面高度(y向)线性分布的弯曲正应力可视为微段所受外力.很明显，该微段是一个环状体.若该环状体在其环体平面(图中m一m线所示)中有变形，则该变形也就是薄壁构件弯曲时其横截面的变形.所以问题归结为对该环体在其平面内的变形的分析.

　　环体两端面上的弯曲正应力为

　　式中M为构件横截面上的弯矩;l₂为构件横截面对中性轴z的惯矩，r，β为环端面上任一点的极坐标.

　　弯曲正应力作为环体的外力成面集度分布.为了分析方便，首先将其在环高(壁厚t)方向上进行简化，成为沿环中线的线集度分布载荷q、，则有