移动的线源平稳随机荷载激励下梁的随机响应

　　点源负荷下梁的振动最早是由Timoshenko首先研究的(1926）^[3].　类似的问题又由Inglis^[4], Kenney^[5],　李国豪^[6]等人加以研究.弹性地基上的无限长梁、有限长梁在恒定的匀速运动荷载作用下的响应也由Fryba^[7], Steele[8]研究过.后者采用Fourier级数展开方法还处理了无地基梁的动力问题.最近,王永平,陈彦江,傅金科等人又用实验方法研究了简支梁桥的动力特性[9].

　　一般来说,上述研究都只考虑了确定性荷载的情况,而理论和实验均已表明,作用在地面结构上的运动车辆荷载是平稳随机过程^[2,10].本文则着重讨论随机响应的各种统计特性.

　　1　数学模型

　　文^[2]给出了运动线源随机荷载的数学描述

　　其中v表示源的运动速度,2r0为线源荷载的分布长度.H(·)为Heaviside阶跃函数.p(t)为平稳高斯随机过程.不妨设随机荷载p(t)的功率谱密度和自相关函数分别为Sp(ω)和Rp(τ),　其均值和均方值分别为

　　考虑到Kelvin粘弹地基模型比Winkler弹性地基模型增加了一个线性阻尼,文^[2]给出了

　　Kelvin粘弹性地基上无限长梁的控制方程

　　这里只考虑稳态随机响应,因而初始扰动的影响可以忽略不计.无穷远处的边界条件则为

　　方程(1)~(3)就构成了本文所述问题的定解方程.

　　2　初步分析

　　按照处理线性偏微分方程的理论,方程(1)~(3)的解可表示为广义Duhamel积分

　　式中h(·)称为梁的线源脉冲响应函数.证明了表示(4)对荷载变化规律p(t)并无特别要求.

　　3　线源脉冲响应函数

　　梁的线源脉冲响应函数系指梁在下述荷载作用下产生的挠度响应

　　为此我们引入Fourier变换和Laplace变换的定义.定义函数f(t)的Fourier变换及其逆变换为

　　函数f(t)的Laplace变换及其逆变换为

　　对方程(2)两边关于x和t分别进行Fourier变换和Laplace变换,利用卷积定理,再进行反演,最终可得梁的线源脉冲响应函数

　　下文为节省篇幅,仅以(10)式形式为基础.

　　4　随机响应统计特性

　　把(10)式代入(4)式得梁在任意运动线源下的响应

　　其中对(12)式两边取数学期望,可得随机响应的平均函数

　　时间自相关函数为

　　注意到平均函数(13)式中含有时间项,并且自相关函数(14)式无法表示成只与时差t₂-t₁有关的形式,从而得出结论此时的随机响应是非平稳过程,这一点与文[11]是一致的.