两端带约束条件的厚壁圆筒空间解析解

　　两端带约束条件的厚壁圆筒受均布内压力问题是工程应用中经常遇到的实际问题,如VC轧辊辊套的静载胀形变形问题.这类问题按厚壁圆筒问题来求解,至今尚未得到精确的解析解.本文以实验研究为基础,选用恰当的位移函数,运用弹性理论求得了两端带约束条件的厚壁圆筒受均布内压力的空间解析解,计算结果表明,理论值与实验值得到了很好的吻合.

　　本文给出实验研究及求解过程.

　　1　　实　验

　　如图1所示,圆筒与心轴的两端(AB及CD段)过盈配合,油腔长L上作用有均布内压力P.该问题为轴对称问题.为测得圆筒外表面在不同内压力作用下产生的径向位移,沿某一测量母线(相对于中间截面)对称分布21块千分表,表头垂直母线并指向oz轴.将诸表指针调零后,分别取P/MPa为10、20、30、40、50对厚壁筒试件加载,记录各千分表读数,在每一压力测完后,释放内压力,重新将诸表调零,然后再加内压至下一个压力值.每一实验重复3次,取其平均值作为实验结果.

　　改变厚壁圆筒壁厚,重复上述实验,便可得到不同圆筒壁厚,不同内压力作用下圆筒外表面上各测点的径向位移值.圆筒壁厚分别为45 mm、42.5 mm、40mm及35 mm时的几组实验结果绘成如图2所示的径向位移沿z轴分布曲线(实线).分析上述诸实验曲线可知,厚壁圆筒外表面的径向位移沿轴向分布曲线类似于余弦曲线.

　　2　新位移函数

　　空间轴对称问题的位移函数应满足双调和方程[1]

　　式中,k=π/L,f(r)、q(r)均为仅与半径r有关的函数.

　　将(2)式代入(1)式,就得到确定f(r)和q(r)的下列2个4阶微分方程

方程(4)属尤拉方程,其解为

　　上式即为所求新位移函数.

　　3　厚壁圆筒形变位移场的确定

　　3.1边界条件

　　对于图1,采用柱坐标边界条件可表示为

　　式(10)中的æ为圆筒内的周向应力,它是r和z的函数.圆筒变形后,其母线方向正应力在径向投影极小,故式(10)中忽略了的影响.

　　3.2　应力场、位移场的确定

　　将(7)式代入应力分量公式[1]

　　经运算和整理求得应力分量的表达式

　　式中

　　对于图1所示受载情况,将式(12)代入边界条件式(8)、(9)、(10),可求得满足边界条件的待定常数A1～A4及β2～β4,它们的计算公式在文献[3]中给出.因此,将常数(随边界条件而变)A1～A4和β2～β4代入式(14)中,便可获得确定如图1所示受均布内压作用厚壁圆筒形变位移场的解析表达式.作者用For-tran语言编制了程序,利用该程序,很容易算出r、z为任一值时的u、w值.